La comparación de las sumas de surds sin ningún tipo de ayuda

Question

Sin el uso de una calculadora, ¿cómo podría usted determinar si los términos de la forma $\sum b_i\sqrt{a_i} $ son positivas? (Puedes suponer que $a_i, b_i$ son enteros, a pesar de que no necesita ser el caso)

Cuando hay 5 o menos de los términos involucrados, podemos intentar dividir a los términos y plaza de los dos lados, para reducir el número de surds que están involucrados. Por ejemplo, para determinar si $$\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} + \sqrt{7} > 0, $$ we can square both sides of $\sqrt{2} + \sqrt{7} > \sqrt{3}+\sqrt{5} $ to obtain $$9 + 2 \sqrt{14} > 8 + 2 \sqrt{15}.$$

Repite el cuadrado, finalmente, se resuelve esta cuestión, como el número de surds se reducen.

Sin embargo, cuando hay más de 6 términos involucrados, entonces se repite el cuadrado no necesariamente necesitan reducir los términos que están involucrados.

E. g. ¿Cómo podría usted determinar si

$$\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{7} - \sqrt{11} + \sqrt{13} < 0 $$

No puedo pensar en varios enfoques

1. Hay casos especiales, que nos permiten aplicar la desigualdad de Jensen. Sin embargo, esto da un poco de condición restrictiva en el conjunto de valores.

2. Mostrar que $$ \sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{13} < 7.26 < \sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{11} $$ Sin embargo, podría no ser factible para adivinar lo que el número del medio es, a menos que ya tuviera una calculadora.

3. Calcular el surds para el nivel adecuado de precisión (por ejemplo, el uso expansión de Taylor). Este podría ser un poco molesto.

¿Tienes alguna otra sugerencia?

Answer 1

Robert Israel respuesta en mi pregunta Acerca de la racionalización de expresiones es la de la fuerza bruta, pero siempre-el método de trabajo para hacerlo. Aunque es de exponencial de la complejidad, se muestra la posibilidad de una finito de tiempo del algoritmo, además de cálculo.

Answer 2

Esta es la respuesta está incompleta que sólo maneja el caso de seis surds.

Durante seis surds todavía hay manera de hacerlo en general el uso de cuadrar. Supongamos que queremos comprobar si la desigualdad : $$ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} < \sqrt{a'} + \sqrt{b'} + \sqrt{c'} $$ es cierto. El cuadrado ambos lados y dejar que $$ A = bc,\quad B=ac,\quad C=ab,\quad K = a^2+b^2+c^2,\quad \dots $$ se obtiene una expresión de la forma: $$ K + 2\sqrt{A} + 2\sqrt{B} + 2\sqrt{C} < K' + 2\sqrt{A'} + 2\sqrt{B'} + 2\sqrt{C'}\quad\quad (*)$$ ahora la plaza de nuevo, otra expresión de la misma forma $$ K_1 + (4K+2a) \sqrt{A} + (4K+2b)\sqrt{B} + (4K+2c)\sqrt{C} <\\ K'_1 + (4K'+2a') \sqrt{A'} + (4K'+2b')\sqrt{B'} + (4K'+2c')\sqrt{C'} \quad\quad(**)$$

Ahora si $X,Y$ $\theta$ son números positivos y $X \ge \theta /2$, $Y \ge \theta /2$ a continuación, como es fácil de comprobar $$ X^2-\theta X < Y^2 - \theta X \quad\quad \text{if and only if}\quad\quad X < Y $$ dejando $X$ igual al lado izquierdo de (*), $Y$ igual para el lado derecho y $\theta = 2K+a$, (asumiendo $a$ es la más pequeña de las $a,b,c,a',b',c'$) como hemos trivialmente $$ X = K + 2 \sqrt{A} + \dots > \frac{2K+a}{2} = \frac{\theta}2 $$ y lo mismo para $Y$, podemos restar $2K+a$ veces ( * ) ( * * ) y obtener una desigualdad equivalente a la original, pero con una surd menos.

Con un poco de cuidado creo que se puede administrar a extender este positivos y negativos de los coeficientes. Pero no puedo ver cómo se extienden en general de mayor número de surds. Por ejemplo, si tiene cuatro surds en un lado y luego el cuadrado dos veces se puede conseguir en la mayoría de los siete surds $$ \sqrt{ab}, \sqrt{ac}, \sqrt{ad}, \sqrt{bc}, \sqrt{bd}, \sqrt{cd},\sqrt{abcd} $$ si usted administra de alguna manera a reducir el número de surds pero deja más de tres surds, entonces el cuadrado de nuevo un par de veces que se recupera todo el surds, por lo que necesita para reducir cuatro surds en un solo golpe.

Por el camino, en tu ejemplo el cuadrado de la desigualdad vemos que es equivalente a $$ 20 + 2 \sqrt{10} + 2\sqrt{26}+2\sqrt{65} < 21 + 2 \sqrt{21}+2\sqrt{33}+2\sqrt{77} $$ en este caso se han terminado, ya que cada término de la izquierda es menor que el correspondiente término en el derecho.