¿Cuál es la suma de la forma cerrada de esta serie?

Question

¿Cuál es la suma de la forma cerrada de esta serie?

$(1 - \frac12)+(\frac13 - \frac14)(1 - \frac12 + \frac13)+(\frac15 - \frac16)(1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15)+(\frac17 - \frac18)(1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac16 + \frac17)+...$

He estado trabajando en esta serie infinita (y otras series similares). Wolfram no sabe y no tengo ningún otro software de matemática elaboró una respuesta pero no estoy seguro si es correcto. Por lo tanto me gustaría ver qué respuesta nadie puede llegar a comparar.

También me gustaría ver que alguna alternativa pruebas aunque mi respuesta es correcta porque mi prueba era geométrica y participan mucho de dibujo!

Answer 1

Parece que es dada por $$ \frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots\right)^2 - \left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots\right)\right]+\left(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\ldots\right). $$ Es decir, sólo contiene los términos de la diagonal de la plaza de la serie a para $\ln(1+x)$ (evaluado en $x=1$), además de la extraña diagonal términos. Este evalúa a $$ \frac{1}{2}\left[\left(\ln 2\right)^2-\frac{\pi^2}{6}\right]+\frac{\pi^2}{8}=\frac{1}{2}\left(\ln 2\right)^2+\frac{\pi^2}{24}, $$ de acuerdo con su resultado.