La perdida de embarque avanzado

Question

Los Perdidos de la tarjeta de Embarque es un famoso rompecabezas de la siguiente manera:

En un sold out de vuelo, $100$ la gente hace fila para abordar el avión. La primera de pasajeros en la línea que ha perdido su tarjeta de embarque, pero se le permitió, a pesar de ello. Él toma un asiento al azar. Cada pasajero tiene su asiento asignado, si está disponible, o al azar desocupado el asiento, de lo contrario.

¿Cuál es la probabilidad de que el último de los pasajeros a bordo del avión se encuentra a su asiento desocupado?

No es difícil demostrar que la respuesta es $\frac 12$.

Después de ver esto he querido encontrar la probabilidad de que el $k$ persona para entrar en acabaría en su lugar. esto dio como resultado la siguiente función:

Si $k\neq 1$, entonces:

$P(n,k) = \dfrac{n-k+1}{n-k+2}$, $n$ el número de personas.

y para $k=1$:

$P(n,1) = \frac 1n$

Ahora estoy interesado en la posibilidad de que un número de personas que se sentaba en su lugar.

(Si me ayuda a saber la probabilidad de que la persona k para entrar a sentarse en el l la mancha si $l=1$ o $l>k$$\dfrac{1}{(n-k)(n-k+2)}$)

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde la persona que perdió su pase juega un papel especial, creo que es más fácil pensar el problema en términos de $1$ perdedor y $n-1$ guardianes.

Si el perdedor pasa a asumir su propio asiento, todos los demás también va a sentarse en su propia silla, de modo que la probabilidad de que cualquier conjunto de personas, incluyendo a los que el perdedor de finales en sus propios asientos es sólo $1/n$.

Las probabilidades de varios guardianes sentados en sus propios asientos son independientes, entonces la probabilidad de que cualquier conjunto de los encargados de acabar en sus propios asientos es sólo el producto de las probabilidades individuales.

Para ver esto, echemos un vistazo a la derivación de las probabilidades individuales. Para simplificar las cosas, voy a número de los guardianes, en orden inverso de embarque, así portero $1$ tablas último, y el portero $j$ corresponde a la $k=n-j+1$.

La razón portero $j$ probabilidad de $j\,/\,(j+1)$ de sentarse en su propia silla es que en exactamente un punto antes de que el portero $j$ tableros, exactamente un pasajero elija el perdedor del asiento o en uno de los asientos de los guardianes de la $1$ a través de $j$, y el portero $j$ perderá su asiento iff esta elección cae en su asiento fuera de estos $j+1$ asientos.

Ahora la probabilidad de $j'\gt j$ de los que tomaron $j$'s del asiento sin duda depende de si $j'$ obtiene su propio asiento – pero eso no influye en la derivación anterior. No hace ninguna diferencia a $j$ si $j'$ que hace esa opción, y potencialmente lleva a $j$'s de asiento, o a alguien más, antes o después de la $j'$. Independiente de si $j'$ obtiene su propio asiento, exactamente una persona va a hacer esa elección, y por lo tanto las probabilidades de las $j$ $j'$ para obtener sus propios asientos son independientes.

Este argumento también se lleva a través de más de dos guardianes, y por lo tanto, como se afirma, la probabilidad de que cualquier conjunto de los encargados de acabar en sus propios asientos es el producto de las probabilidades individuales. Por ejemplo, la probabilidad de que todos los encargados de acabar en sus propios asientos es el producto de todas las probabilidades individuales, que los telescopios y los rendimientos de $1/n$, la probabilidad de que el perdedor de la elección de su propio asiento (como debe ser).