Sistema dinámico definido con un grupo no abeliano

Question

Suave cuestión. Estoy tomando una clase de introducción a mini-curso de sistemas dinámicos, y el profesor define un continuo sistema dinámico en un espacio topológico $M$ (o espacio métrico, suave colector, o lo que sea) como un mapa (continuo, liso, etc) como un mapa de $\Phi:M\times \Bbb R \to M$ satisfactorio

(i) $\Phi(\cdot,0)={\rm Id}_M$ y

(ii) $\Phi(\Phi(x,t),s)=\Phi(x,t+s)$ todos los $x\in M$$t,s\in \Bbb R$.

Él también se define un sistema dinámico discreto, como lo mismo que los de arriba con a $\Bbb Z$ en lugar de $\Bbb R$, e hizo un comentario diciendo que podríamos usar un grupo en lugar de a $\Bbb R$ o $\Bbb Z$, que supongo que sería como este: vamos a $G$ ser un grupo y pida a $\Phi:M\times G\to M$ a satisfacer

(i') $\Phi(\cdot,e_G) ={\rm Id}_M$ y

(ii') $\Phi(\Phi(x,g),h)=\Phi(x,g\cdot h)$ todos los $x\in M$$g,h\in G$.

Aunque nosotros probablemente querría $G$ a ser un buen grupo topológico o Mentira grupo (podríamos empezar a hablar acerca de la continuidad o la suavidad de $\Phi$), lo que me gustaría saber es: ¿qué cosas interesantes puede ser modelado mediante un sistema dinámico como este? Tengo curiosidad acerca de la utilidad de la no-abelian grupos en este contexto, ya que probablemente querría el espacio de parámetros $G$ que representan los instantes en el tiempo.

Answer 1

¿Qué entiende usted por "modelada"? Si desea mantener la idea de tiempo, creo que hay un poco de "modelado" en ese sentido para no abelian grupos (voy a ser corregido si algunos ejemplo surge). Si por "modelo" que significa que las aplicaciones de la física, la noción de una acción de un grupo sobre un determinado múltiple, por ejemplo, ha intrínseca de las relaciones y la utilidad de la noción de simetría (que obviamente es muy valiosa en la física, y donde la motivación no abelian grupos surgen naturalmente - $\mathrm{SO}(3)$, por ejemplo). En este sentido, el sistema dinámico puede ser interpretado como que hay una manera de moverse por el espacio a través de ciertos movimientos específicos que son de interés para el caso concreto y que se comportan en "concatenable" maneras. Implícitamente, este es también qué es lo que realmente sucede cuando se le da una acción de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Z}$: la forma de movimiento que fluye hacia adelante/hacia atrás en el tiempo.

Si quieres saber la utilidad de la noción (en las matemáticas en sí, decir) en quizás sorprendente situaciones, entonces no son infinitos. Por ejemplo, una escuela primaria utilidad es saber que $\mathrm{SO}(n)$ (no abelian) actúa sobre la esfera de $S^{n-1}$ con isotropía "igual a" $\mathrm{SO}(n-1)$, y, por tanto,$\mathrm{SO}(n)/\mathrm{SO}(n-1) \simeq S^{n-1}$. Esto permite concluir lugar limpiamente, por ejemplo, que el $\mathrm{SO}(n)$ es la ruta de acceso conectados por cada $n$ (no es un resultado que dice que si $G/H$ está conectado y $H$ está conectado, a continuación, $G$ está conectado).

Más curiosamente, uno puede dar un contra-ejemplo a la "pseudo-conjetura de Poincaré" que un compacto colector con la homología de una esfera es homeomórficos a la esfera. Esto se hace mediante el hecho de que el cociente de una propiamente discontinua acción de un grupo de $G$ simplemente conectado el colector $M$ grupo fundamental de la igualdad de a $G$ sí, que es una buena aplicación por sí mismo (por ejemplo, $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ actúa en $\mathbb{R}^2$ por la traducción, con un cociente de ser el toro, lo que nos permite concluir que $\pi_1(T^2)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$. Otro ejemplo es la acción de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sobre la esfera que proporciona el espacio proyectivo). La omisión de detalles, una de las construcciones propiamente discontinua acción de una perfecta $G$$S^3$. Por el teorema he mencionado, el grupo fundamental del espacio $X$ dado por el cociente de la acción es necesariamente $G$. En particular, no puede ser homeomórficos a $S^3$. Sin embargo, por Hurewicz, $H_1(X)=0$, y por la dualidad $H_2(X)=0$ (desde $H^1(X)=0$ por el universal coeficiente del teorema).

Answer 2

$G$ Superior dimensional no quiere pensar en su acción como la representación de las traducciones en tiempo, sino más bien las traducciones en el espacio.