Evaluar

Question

Me gustaría evaluar: $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x(1+e^x)}}\mathrm dx $ $ dado que no puedo encontrar $ \int \frac{1}{\sqrt{x(1+e^x)}}\mathrm dx $, se necesita una substitución: Traté de $$ u=\sqrt{x(1+e^x)} $$ and $$ u=\frac{1}{\sqrt{x(1+e^x)}} $$ but I could not get rid of $$ %x en la nueva integral... ¿Tienes ideas de sustitución?

Answer 1

Dudo que esta integral admite de forma cerrada, la expresión de su valor. Usted podría ampliar integrando en una serie:

$$ \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^x}} = \frac{\mathrm{e}^{-x/2}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{-x}}} = \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac{1}{2}}{n} \mathrm{e}^{-\left(n+\frac{1}{2}\right)x} $$

Luego puede integrar plazo prudente para conseguir que

$$ \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{x \left(1+\mathrm{e}^x \right)}} \mathrm{d} x = \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac{1}{2}}{n} \sqrt{ \frac{2 \pi }{ 2n+1}} \simeq 2.0343 $$

Answer 2

$$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{x(1+e^x)}}\mathrm{d}x &=2\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{1+e^{x^2}}}\mathrm{d}x\\ &=2\int_0^\infty(1+e^{-x^2})^{-1/2}e^{-x^2/2}\;\mathrm{d}x\\ &=2\int_0^\infty\sum_{k=0}^\infty(-\tfrac{1}{4})^k\binom{2k}{k}e^{(2k+1)x^2/2}\;\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=0}^\infty(-\tfrac{1}{4})^k\binom{2k}{k}\sqrt{\frac{2\pi}{2k+1}} \end {Alinee el} $$