¿Cuál es $F(a)=\int_0^af(x)\mathrm{d}x$ holomorfa?

Question

Que $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ y $\gamma_a$ sea una familia continua de caminos en el plano complejo ir de $0$ $a$.

¿Qué restricciones deben imponerse a $f$ a hacer $F(a)=\int_{\gamma_a}f(x)\mathrm{d}x$ holomorfa en algún conjunto abierto U?

Answer 1

"Holomorphic en $a$" a veces (siempre?) significa "complejo-diferenciable en cada punto en algunos abiertos barrio de $a$". Si $F$ es holomorphic en $a$, a continuación, algunos resultados estándar decir que para algunos $c_n$, $n=0,1,2,\ldots\,{}$, $$ F(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n $$ para $|z-a|<\text{some positive number}$. La serie converge, y lo que converge a es lo correcto, $F(z)$. A otro nivel, el teorema dice que en el interior del disco de convergencia, el poder de la serie puede ser diferenciada, término por término, y el derivado tiene al menos tan grande de un radio de convergencia. En consecuencia, $F$ tiene derivadas de todos órdenes en algunas abrir barrio de $a$. Y, sin embargo, otro resultado estándar dice $F'=f$ en ese barrio. Por lo $f$ se debe a sí mismo por expresable como una convergente de alimentación de la serie en ese barrio. Línea de base: $f$ debe ser holomorphic en $a$, con el fin de que $F$ ser holomorphic en $a$.