Puede la función factorial ser escrita como una suma?

Question

Sé que de la suma de los logaritmos naturales de los factores de n! pero quisiera saber si existen otros.

Answer 1

Esta es bastante importante: $$n! = \sum_{\sigma\in S_n} 1$$

Edit: Como Arkamis explica, $S_n$ es el grupo simétrico en $n$ letras. Cada una de las $\sigma\in S_n$ es una permutación del conjunto de $[1,2,\ldots,n]$. Desde $S_n$ es un conjunto finito, podemos sumar una función sobre él, y la suma de la constante de la función $f(\sigma)=1$ es sólo el tamaño del conjunto, que es $|S_n| = n!$.

Podría decirse que, la suma de una función constante es hacer trampa. Aquí es una manera de aumentar la apuesta. Deje $B_n$ el conjunto de $n\times n$ entero matrices $A$ de manera tal que cada suma de un subconjunto de entradas de$A$$[0,n]$. Entonces:

$$n!=\sum_{A\in B_n}|\det A|$$

Este es el mismo de la identidad en un más que interesante disfraz. Cada $n\times n$ matriz de permutación $A$ es un miembro de $B_n$, e $\det A = \pm 1$. Por otro lado, si $A\in B_n$ no es una matriz de permutación, entonces usted puede probar que $\det A = 0$.

Answer 2

Un montón de buenas respuestas, pero la respuesta es muy fácil, "sí."

Entero de la multiplicación es una suma repetida.

$n!$ $n$ grupos de $(n-1)!$ objetos, por lo $n! = \sum_{k=1}^n (n-1)!$.

A continuación, $(n-1)!$ $n-1$ grupos de $(n-2)!$ objetos, por lo $n! = \sum_{k_1=1}^n \sum_{k_2 = 1}^{n-1} (n-2)!$, y así sucesivamente.

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Ejemplo:

$$4! = \sum_{k_1 = 1}^4 3! = 3!+3!+3!+3! = 4\cdot 3!.$$ $$\begin{align*} 4! &= \sum_{k_1=1}^4 \sum_{k_2=1}^3 2! \\ &= \sum_{k_1=1}^4 2!+2!+2! \\ &= 2!+2!+2! + 2!+2!+2! + 2!+2!+2! + 2!+2!+2! \\ &= 12\cdot 2! \\ &=4\cdot 3\cdot 2!. \end{align*}$$

Answer 3

$n! = e^{ \sum_{k = 1}^n \ln (k)}$

Answer 4

$$n! = 1 + \sum_{k=1}^n (k-1) (k-1)!$$

Answer 5

Seguro, para $n\ge 1$ tenemos $$n!=\fbox{$(n-1)\times (n-1)!$} + \fbox{$(n-1)!$}$$