Si $X$ y $Y$ son dos variedades y los gérmenes de las funciones regulares $\mathcal O_{x,X}$ y $\mathcal O_{y,Y}$ de dos puntos $x \in X$ y $y \in Y$ son isomorfos como $k$ -algebras, entonces podemos encontrar dos vecindades $x\in U$ y $y \in V$ y un isomorfismo $U\simeq V$ enviando $x$ a $y$ ?
Respuestas
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El resultado se desprende de dos hechos generales sobre el morfismo de variedades ( $k$ puede ser cualquier anillo noeteriano conmutativo y $X, Y$ son esquemas de tipo finito sobre $k$ incluso se puede eliminar la hipótesis noetheriana si $X, Y$ son de presentación finita sobre $k$ ):
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( Extensión de los anillos locales a los barrios abiertos ) Deja que $\phi: O_{Y,y}\to O_{X,x}$ sea un homomorfismo de local $k$ -algebras. Entonces existen vecindades abiertas $U\ni x$ , $V\ni y$ y un morfismo $f : U\to V$ que induce $\phi$ ( es decir $f(x)=y$ y $f_x: O_{Y,y}\to O_{X,x}$ es igual a $\phi$ ).
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( Singularidad ) Deja que $h_1, h_2 : X\to Y$ sean dos morfismos tales que $h_1(x)=h_2(x)=y$ y $(h_{1})_x=(h_2)_x$ . Entonces existe una vecindad abierta $U$ de $x$ tal que $h_1|_{U}=h_2|_{U}$ .
Prueba de (1): Sea $V$ sea una vecindad abierta afín de $y$ en $Y$ . Entonces $O_Y(V)$ está generada finitamente sobre $k$ . Sea $$ k[T_1, \dots, T_n]\twoheadrightarrow O_Y(V) $$ sea un morfismo suryente de $k$ -algebras con núcleo $I$ . Sea $b_i\in O_Y(V)$ sea la imagen de $T_i$ . Como $k[T_1, \dots, T_n]$ es noetheriano, $I$ está generado por un número finito de polinomios $P_1(\underline{T}), \dots, P_m(\underline{T})$ (aquí $\underline{T}=(T_1, \dots, T_n)$ ). Existe una vecindad abierta afín $U$ de $x$ y $a_1, \dots, a_n\in O_X(U)$ tal que $\phi((b_i)_y)=(a_i)_x$ para todos $i\le n$ . Como $(P_j(\underline{b}))_y=0_y=0$ tenemos $P_j(\underline{a})_x=0$ . Así que la contracción $U$ si es necesario, podemos suponer $P_j(\underline{a})=0$ . Por lo tanto, el $k$ -mapa de álgebra $$ k[T_1, \dots, T_n]\to O_X(U), \quad T_i\mapsto a_i$$ factoriza a través de $\psi: O_Y(V)\to O_X(U)$ . Por construcción tenemos el siguiente diagrama conmutativo donde las flechas verticales son mapas canónicos a los tallos $$\begin{matrix} O_Y(V) & \stackrel{\psi}{\longrightarrow} & O_X(U)\\ \downarrow&&\downarrow\\ O_{Y,y}&\stackrel{\phi}{\rightarrow}&O_{X,x} \end{matrix} $$ Por lo tanto, $\psi$ mapea la preimagen de $m_yO_{Y,y}$ en $O_Y(V)$ a la preimagen de $m_xO_{X,x}$ en $O_X(U)$ . Así que el morfismo $f: U\to V$ inducido por $\psi$ satisface $f(x)=y$ y $f_x=\phi$ .
Prueba de (2). Esto es más fácil. Encogiendo $X$ y $Y$ podemos suponer $X$ y $Y$ son afines. Sea $\psi_1, \psi_2: O_Y(Y)\to O_X(X)$ sean los morfismos de $k$ -correspondientes a $h_1, h_2$ . Sea $c_1, \dots, c_m$ sean generadores de $O_Y(Y)$ como $k$ -Álgebra. Entonces $$(\psi_1(c_i))_x=(h_1)_x((c_i)_y)=(h_2)_x((c_i)_y)=(\psi_2(c_i))_x.$$ Así que para alguna vecindad abierta afín $U$ de $x$ tenemos $\psi_1(c_i)|_U=\psi_2(c_i)|_U$ para todos $i\le m$ . Así, $\psi_1|_U=\psi_2|_U$ y $h_1|_U=h_2|_U$ .
Te dejo que descubras cómo extender un isomorfismo de anillos locales a un isomorfismo de vecindades abiertas usando (1) y (2). Si necesitas más pistas, por favor dilo.
Sridher
Puntos
16
Aquí está la versión ampliada de mi comentario:
Dejemos que $f: \mathcal{O}_{x,X} \to \mathcal{O}_{y,Y}$ sea el $k$ -Álgebra isomorfismo . Como sus dimensiones de Krull son iguales, WLOG, podemos suponer que son variedades afines de $\mathbb{A}^n.$
Para simplificar, supongamos que $P=Q=0.$ Definir un mapa $g$ de un subconjunto abierto de $X$ a un subconjunto abierto de $Y$ , por $g(x_1,…,x_n)=(f^{-1}(y_1)(x_1,…,x_n), f^{-1}(y_2)(x_1,…,x_n), …, f^{-1}(y_n)(x_1,…,x_n))$ donde $y_i$ son funciones de coordenadas en $\mathbb{A}^n$ y $g$ se define en un subconjunto abierto donde $ f^{-1}(y_i)$ están definidos. Se puede construir la inversa de $g$ en algún subconjunto abierto de forma similar, por tanto, el isomorfismo deseado.
