¿Cuántos diamantes roban?

Question

Hay $7$ ladrones. Robar los diamantes de un comerciante de diamantes y huir a la selva. Mientras están en funcionamiento, cae la noche y decidieron descansar en la selva. Cuando todo el mundo está durmiendo, dos mejores amigos se decidió dividir los diamantes entre ellos y huir.

Así que empezar a dividir, tan sólo para descubrir que están a la izquierda con un extra de diamante. Así que decidió despertar a un $3^{\mathrm{rd}}$ uno de dividir los diamantes de nuevo....sólo para su sorpresa, todavía encontrar un diamante. Así que decidió despertar a un $4^{\mathrm{th}}$, y otra vez la misma cosa. El $5^{\mathrm{th}}$ es despertado... siendo uno extra. $6^{\mathrm{th}}$, y todavía uno extra. Que luego despertar a la $7^{\mathrm{th}}$ y todos los diamantes se distribuyen por igual.

Cuántos diamantes hicieron robar en total?

Muy claramente, con solo leer esto, sabemos que el número de diamantes (vamos a decir $x$) tiene que ser impar. También se ha de acabar en $1$, de lo contrario, no podemos obtener el $1$ restante con la $5$ ladrones.

Así queremos encontrar un valor que, $x$ que es:

$$x \equiv 1 \mod 2$$ $$\, \, \, \,\, \equiv 1 \mod 3$$ $$\, \, \, \,\, \equiv 1 \mod 4$$ $$\, \, \, \,\, \equiv 1 \mod 5$$ $$\, \, \, \,\, \equiv 1 \mod 6$$

y

$$x \equiv 0 \mod 7.$$

Pensé que era un teorema del resto Chino pregunta, pero me parece que no puede trabajar con $7$ ecuaciones. Lo que he dicho es que como son todos los $1 \mod \mathrm{something}$, sus inversos modulares todos acaba de ser $1$. Así que la respuesta debe ser

$$x \equiv (2 \cdot 1 \cdot 1) + (3 \cdot 1 \cdot 1) + (4 \cdot 1 \cdot 1) + (5 \cdot 1 \cdot 1) + (6 \cdot 1 \cdot 1) + (7 \cdot 0) \mod 5040$$ $$ \equiv 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \mod 5040 $$ $$ \equiv 20 \mod 5040, $$

pero esto me da la respuesta equivocada, como muy claramente siempre va a ser aún.

¿Qué he hecho mal?

Answer 1

El chino del resto teorema funciona sólo si los números son coprimos pares. Permite que el CRT solo aplica a las siguientes condiciones (que implican las condiciones restantes): $$x \equiv 1 \mod 3,4,5$$ and $% $ $x \equiv 0 \mod 7.$de los tres primeros obtener $x \equiv 1 \mod 60$. Entonces la cuarta condición impies $x \equiv 301 \mod 420$.

Answer 2

La parte donde vas mal es cuando se aplica el Teorema chino del resto. Para aplicar el Teorema chino del resto, necesitamos lo números $2,3,4,5,6$ a ser pares Co que no es el caso. Sin embargo, en este caso observar que todos los $2,3,4,5,6$ divide $x-1$ que sucede iff su lcm divide $x-1$ y por lo tanto, obtenemos el ecuaciones $$x \equiv 1 \pmod {60} \space \space \space \space \space \space \space x \equiv 0 \pmod {7}.$$ Since ${\rm MCD} (60,7) = 1$, ahora puede aplicar CRT.