El producto de todas las diferencias de las posibles parejas de seis enteros positivos dados es divisible por 960.

Question

¿Cómo puedo mostrar que el producto de todas las diferencias de las posibles parejas de seis enteros positivos dados es divisible por $960$?

$$x_1x_2x_3x_4x_5x_6$$

$$960\mid (x_1-x_2 )(x_1-x_3 )(x_1-x_4 )(x_1-x_5 )(x_1-x_6 )(x_2-x_3 )(x_2-x_4 )(x_2-x_5 )(x_2-x_6 )(x_3-x_4 )(x_3-x_5 )(x_3-x_6 )(x_4-x_5 )(x_4-x_6 )(x_5-x_6)$$

Answer 1

Por el principio del cajón, al menos dos de los números originales son equivalentes módulo 3 y dos son equivalentes módulo 5. Por lo tanto, el producto de las diferencias será divisible por $3\times 5=15$.

De manera similar, los valores de clase mod 2 pueden dividirse en 6:0, 5:1, 4:2 o 3:3. En estos casos, el producto de diferencias tendrá 15, 10, 7 o 6 potencias de dos incluidas. Por lo tanto, el producto de diferencias será divisible por al menos $2^6= 64$.

$64\times 15 =960 $ como se requiere.

(Podríamos hacer una afirmación más fuerte; el producto de diferencias debería ser divisible por $8640$ debido a múltiples valores coincidentes módulo 3.)

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edición para agregar - Podríamos hacer la afirmación más fuerte posible aplicando el principio del cajón a los números módulo 4 y así reunir dos potencias extra de $2$, lo que significa que todos los números de ese tipo son divisibles por $34560$ - y observar que esto también es igual al resultado, $34560=5!4!3!2!1!$, cuando los números originales son una secuencia consecutiva que da diferencias mínimas no nulas.

Answer 2

Si $k$ es impar (o par) tenemos $k(k-1)/2$ combinaciones, cada una produciendo una potencia de $2$. Esto nos da las opciones $(6:0)=15, (5:1)=10, (4:2)=6+1=7$ y $(3:3)=3+3=6$. Así que sabemos que $X$ es divisible por $2^6$. Con seis variables, tenemos al menos $3^3$ por el principio del palomar, y similarmente $5$ es un divisor.