Mostrar si $G$ es abelian y $|G| \equiv2 \mod 4$, entonces el número de elementos de orden 2 en $G$ 1.

Question

He intentado demostrar por contradicción, suponiendo que el número de elementos es diferente de uno, que por Sylows 3, implica que el $|G|=2^xm$ $m$ impar. Con eso logró mostrar que $m\equiv1\mod4$, pero un poco se quedó atascado allí...

Answer 1

He aquí una solución alternativa sin el uso de Sylow de teoremas.

Tenga en cuenta que $|G|\equiv 2 \pmod 4 \Rightarrow |G|=2(2k+1)$ algunos $k\in \mathbb{Z}$.

Desde $2$ divide $|G|$, por Cauchy teorema existe un elemento $g\in G$ orden $2$. Ahora $\langle g\rangle$ es un subgrupo de orden $2$. Ahora desde $G$ es abelian tenemos que $\langle g\rangle $ es un subgrupo normal, y por lo tanto, $G/\langle g\rangle $ es un grupo. Ahora por Lagrange del teorema $|G/\langle g\rangle | = 2k+1$, lo cual es extraño.

Supongamos que hay otro elemento $h\in G$ con el fin de $2$$h\neq g$. Entonces tenemos que $ h + \langle g \rangle $ es un elemento de orden $2$$G/\langle g\rangle$. Por lo tanto $\langle h + \langle g\rangle \rangle $ es un subgrupo de $G/\langle g\rangle$ o de la orden de $2$. Sin embargo, esto es una contradicción ya que el $|G/\langle g\rangle|$ es impar.

Answer 2

De hecho $|G|\equiv 2\pmod 4$ implica que % $ $$|G|=2m$$m$extraño (si se tratara de una energía más alta de $2$, sería congruente a $0$ en su lugar). Así que $2$-subgrupos de Sylow son del orden de $2$. Usted debe ser capaz de tomar de allí.

Answer 3

Si hay dos elementos de orden $2$ en un Grupo abeliano $G$, entonces generan un subgrupo de orden $4$ y así el orden de $G$ será un múltiplo de $4$.

Answer 4

Sugerencia: $|G|$ $2(1+2p)$, un Grupo abeliano finito es un producto de grupos isomorfos a $\mathbb{Z}/p^l$ donde $p$ es una privilegiada, que esto implica que el componente asociado a $2$ $\mathbb{Z}/2$.

https://en.wikipedia.org/wiki/Finitely_generated_abelian_group#Classification