¿Por qué es ${\aleph_\omega}^{\aleph_1} = {\aleph_\omega}^{\aleph_0} \cdot {2}^{\aleph_1}$?

Question

Debo demostrar que ${\aleph_\omega}^{\aleph_1} = {\aleph_\omega}^{\aleph_0} \cdot {2}^{\aleph_1}$, pero realmente no tengo idea cómo comenzar o qué hacer. Pensé que podría utilizar lo siguiente: ${2}^{\aleph_1}= {\aleph_1}^{\aleph_1}$, debido a la infinitud de ${\aleph_1}$.

Espero que alguien me mostrará cómo funciona esto. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Tenemos, desde $\aleph_\omega$ es un límite, que \[ \aleph_\omega^{\aleph_1} = (\sup_n \aleph_n^{\aleph_1})^{\operatorname{cf}\aleph_\omega} \] Por Hausdorff y la inducción \[ \aleph_{n+1}^{\aleph_1} = \aleph_n^{\aleph_1} \cdot \aleph_{n+1} = \aleph_1^{\aleph_1}\cdot \aleph_{n+1} = 2^{\aleph_1} \cdot \aleph_{n+1} \] Por lo tanto \[ \sup_n \aleph_n^{\aleph_1} = 2^{\aleph_1} \cdot \aleph_{\omega} \] Como $\operatorname{cf}\aleph_\omega = \aleph_0$, finalmente \[ \aleph_\omega^{\aleph_1} = (2^{\aleph_1} \cdot \aleph_\omega)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1} \cdot \aleph_\omega^{\aleph_0}. \]