Sé que el supremum de una familia de funciones afines es convexo. Me pregunto si es verdad (y si tan cómo una prueba) que lo contrario, cualquier función convexa $C^1$ es el supremum de alguna familia de funciones afines. Gracias.
Respuesta
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Hay muy generales, pero un poco difícil teorema—permítanme decirlo en términos de cóncava funciones, porque esa es la manera en que yo estoy acostumbrada a hacerlo. Lo que sigue es una versión ligeramente ampliada de un argumento dado en la p. 13f al comienzo del Capítulo 3 de Robert R. Phelps de Conferencias sobre Choquet del Teorema, Springer Notas de la Conferencia en matemáticas 1757 (2001):
Recordemos que una función es superior semi-continua si $\{f \lt c\}$ está abierto para todos los $c$.
Deje $K$ ser un conjunto convexo cerrado en un localmente convexo del espacio $X$ (usted puede tomar $X = \mathbb{R}^n$ si te gusta, claro). A continuación, una limitada función de $f:K \to \mathbb{R}$ es superior semi-continuo y cóncava si y sólo si $$f(x) = \inf{\{a(x)\,:\,a:K \to X \text{ is continuous, affine and } f \leq a\}}$$ para todos los $x \in K$.
La idea es utilizar la separación de hyperplane teorema. Si una función es convexa y semicontinua superior, a continuación, su subgrafo es convexa (concavidad) y cerrado (por superior semicontinuity) y por tanto el infimum $\hat{f}\,(x)$ sobre todos los valores de $a(x)$ de los afín funciones dominando $f$ no puede mentir estrictamente sobre el subgrafo, por lo que nosotros podíamos encontrar una separación de hyperplane (= la gráfica de una función afín) estando estrictamente entre el punto de $(x,\hat{f}(x))$ y el subgrafo.
Desde una $C^1$ función es continua, por lo tanto superior semi-continuo, la pregunta que uno se hace de la siguiente manera a partir de esto inmediatamente. Tenga en cuenta también que la continuidad de la afín funciones no es un problema si $X = \mathbb{R}^n$.
Aquí hay algunos detalles más:
Para cualquier delimitada la función $f$ puesto $\hat{f}(x) = \inf{\{a(x)\,:\,a:K \to X \text{ is continuous, affine and } f \leq a\}}$. La función de $\hat{f}$ se llama el cóncavo de la envolvente de $f$. Como infimum de funciones continuas, $\hat{f}$ es ciertamente superior semi-continuo, y como un infimum de funciones cóncavas $\hat{f}$ es cóncava, por lo que las condiciones en las $f$ son sin duda necesarias.
Ahora supongamos $f$ es acotado, superior semi-continuo y cóncava. Considerar el espacio $X \times \mathbb{R}$. Desde $f$ es superior semi-continuo y cóncavo, el subgrafo $G_f = \{(x,t) \in K \times \mathbb{R}\,:\,f(x) \geq t\} \subset X \times \mathbb{R}$ es cerrado y convexo.
Supongamos hacia una contradicción que hay un $k \in K$ tal que $f(k) \lt \hat{f}(k)$. A continuación, el de Hahn-Banach teorema de separación (o la separación de hyperplane teorema si $X = \mathbb{R}^n$, ver también esta relacionada con hilo) nos da un funcional lineal $\phi: X \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $t_0 \in \mathbb{R}$ tal que $$\sup\limits_{(x,t) \in G_f}{\phi(x,t)} \lt t_0 \lt \phi(k, \hat{f}(k)).$$ But $\phi(k,f(k)) \lt \phi(k,\hat{f}(k))$ gives us by linearity of $\phi$ that $\phi(0,\hat{f}(k)-f(k)) \gt 0$ and hence $\phi(0,1) \gt 0$. But this means that for each $x \in X$ there is a unique $a(x) \in \mathbb{R}$ such that $\phi(x,a(x)) = t_0$. It is not hard to show that $$ is continuous and affine. Since for $x \in K$ we have $\phi(x,f(x)) \lt t_0$ and since $\phi(0,1) \gt 0$ we conclude from the definition of $$ that for $x \in K$ we have $f(x) \lt a(x)$. On the other hand $t_0 \lt \phi(k, \hat{f}(k))$ but this gives us $f(k) \lt a(k) \lt \hat{f}(k)$, a contradiction to the definition of the concave envelope $\hat{f}$.
