La conserva de 4-impulso del operador para el complejo campo escalar $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_1 + i\psi_2)$ se da en términos de la modalidad de operadores en $\psi$ $\psi^{\dagger}$ $$P^{\nu} = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 }\frac{1}{2 \omega(p)} p^{\nu} (a^{\dagger}(p) a(p) + b^{\dagger}(p) b(p))$$ Esto es sólo declaró en mis notas, pero me gustaría ver cómo llegar a él mediante el modo de operadores. El lagrangiano para el complejo campo escalar es $$ \mathcal L = \partial_{\mu} \psi^{\dagger} \partial^{\mu} \psi - m^2 \psi^{\dagger} \psi.$$ The the stress energy tensor associated with this theory is $$T^{\mu \nu} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_{\mu}\psi)} \partial^{\nu} \psi + \partial^{\nu} \psi^{\dagger} \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_{\mu} \psi^{\dagger})} - \mathcal L\delta^{\mu \nu},$$ which using the lagrangian gives $$T^{\mu \nu} = \partial^{\mu} \psi^{\dagger} \partial^{\nu} \psi + \partial^{\nu} \psi^{\dagger}\partial^{\mu} \psi - \mathcal L\delta^{\mu \nu}$$ Entonces $$P^{\nu} = \int T^{0 \nu} d^3 x = \int (\partial^{0} \psi^{\dagger} \partial^{\nu} \psi + \partial^{\nu} \psi^{\dagger}\partial^{0}\psi - \mathcal L\delta^{0\nu}) d^3 x $$so$$P^0= \int (\partial^{0} \psi^{\dagger} \partial^{0} \psi + \partial^{0} \psi^{\dagger}\partial^{0}\psi - \partial_0 \psi^{\dagger} \partial^0 \psi - \partial_i \psi^{\dagger} \partial^i \psi + m^2 \psi^{\dagger}\psi) d^3 x $$ Del mismo modo, puedo obtener un $$P^i = \int d^3 x (\partial_0 \psi^{\dagger} \partial^i \psi + \partial^i \psi^{\dagger} \partial_0 \psi)$$
Entiendo cómo la expresión de $P^0$ se derivan de la utilización de la integral que he escrito arriba, pero la expresión de $P^i$ es incorrecta por un signo. Veo en mis notas, de hecho, la expresión integral para $P^i$ que tengo pero un signo menos delante. Pero no estoy seguro sobre el origen de este menos. Tal vez me estoy perdiendo algo conceptualmente en la derivación de $P^i$ entonces. Gracias por los comentarios.
