En particular, ¿cómo se muestra una divergencia en los puntos en los que la parte fraccionaria de$n!x$ tiende a$\frac{1}{2}$ como$n\to\infty$, como$x=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{(2k)!}$? (Este es un ejemplo frecuentemente citado de una secuencia de funciones que son derivadas de todas las funciones uniformemente convergentes, pero que no convergen en ninguna parte).
Respuesta
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Did
Puntos
1
¿Cómo hace uno para mostrar que $(n-1)!\cos(n!x)$ diverge en todas partes?
Deje $x_n=(n-1)!\cos(n!x)$. Supongamos que la secuencia de $(x_n)$ está acotada.
A continuación, $\cos(n!x)\to0$ al $n\to\infty$ por lo tanto, para cada $n$, $$ n!x=\frac\pi2+k_n\pi+z_n, $$ donde cada $k_n$ es un número entero valorado y $z_n\to0$. Por lo tanto, $|\cos(n!x)|=|\sin(z_n)|\sim |z_n|$ por lo tanto $(n-1)!\cdot|z_n|\leqslant z$ por cada $n$, para algunos finito $z$. En particular, $$ (2n)!x=(2n)\cdot(2n-1)!x=(n+2nk_{2n-1})\pi+2nz_{2n-1}=2nz_{2n-1}\pmod{\pi}. $$ Desde $2nz_{2n-1}\to0$, $|\cos((2n)!x)|\to1$. Esto implica que $|x_{2n+1}|\to\infty$, lo que contradice la hipótesis de que la secuencia de $(x_{n})$ está acotada.
En particular, la secuencia $(x_n)$ diverge.
El mismo razonamiento muestra que la secuencia de $(x^{(a)}_n)$ diverge (por ser no acotada) para cada $a\gt1$ donde $x^{(a)}_n=n^a\cos(n!x)$.
