Prueba $n! \leq n^n$

Question

Demostrar mediante el mínimo ejemplo contrario para todos los enteros positivos n. $$ n! \leq n^n$$ Sigo atascado después de demostrar que el menor elemento del conjunto de contraejemplos no puede ser igual a 1. Cualquier sugerencia sería de gran ayuda.

Answer 1

Parece que quiere demostrar que $S = \{n \in \mathbb{N} : n! > n^n\}$ no puede tener un elemento más pequeño.

Así que $n$ sea el menor número en $S$ y (por lo que dice que ha demostrado) $n>1$ .

Entonces tenemos que tanto $n! > n^n$ y $(n-1)! \le (n-1)^{n-1}$ y queremos deducir una contradicción.

Sugerencia : ¿Qué es $n!/(n-1)!$ y qué decir de $n^{n-1} / (n-1)^{n-1}$ ?

Answer 2

$n!$ es el número de permutaciones de $S=\{1, \dots, n \}$ mientras que $n^n$ es el número de funciones de $S$ a sí misma. Las permutaciones son funciones, así que claramente $n! \leq n^n$ .

Answer 3

Sugerencia: demuéstrelo por inducción. Es decir, demuestre la afirmación para $n = 1$ entonces supongamos que la afirmación se cumple para algún $n$ y demostrar que la afirmación es válida para $n + 1$ .

Edición: Concretamente, tenga en cuenta que para $n = 1$ tenemos $n^n = 1$ y $n! = 1$ Así que es verdad.

Entonces asuma que la afirmación se cumple para algún número entero $n \geq 1$ (es decir, asumimos $n^n \geq n!$ e intentar demostrar la afirmación $(n + 1)^{n + 1} \geq (n + 1)!$ . Pero esto es cierto, ya que $(n + 1)! = n!(n + 1) \leq n^n(n + 1) \leq (n + 1)^n(n + 1) = (n + 1)^{n + 1}$ .

Answer 4

Obsérvese que tenemos

$$\begin{align} n!&=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdots3\cdot 2\cdot 1\\\\ &=n\cdot n\left(1-\frac1n\right)\cdot n\left(1-\frac2n\right)\cdot n\left(1-\frac3n\right)\cdots n\frac3n\cdot n\frac2n\cdot n\frac1n\\\\ &=n^n\cdot\left(1-\frac1n\right)\cdot\left(1-\frac2n\right)\cdot\left(1-\frac3n\right)\cdots \frac3n\cdot \frac2n\cdot\frac1n\\\\ &\le n^n \end{align}$$

ya que cada término parentético es menor que $1$ .