Si he entendido bien, estás preguntando cómo demostrar que la simetría de un tensor es independiente de las coordenadas, pero parece que tienes problemas con la definición de tensor. Bueno, no eres el primero. Permíteme darte una definición que puede ayudarte.
En primer lugar, supongamos que tenemos un espacio (puede ser un espacio3 o un espaciotiempo o lo que sea) y tenemos un conjunto de coordenadas $\{x^i\}$ definido en él. Y digamos que tienes una partícula moviéndose en tu espacio, con una trayectoria dada por $x^i = x^i(t)$ . Aquí $t$ es sólo un parámetro. Puedes encontrar las componentes de la velocidad en tu sistema de coordenadas: $u_x^i(t) = dx^i/dt$ . (Estoy utilizando subíndices para etiquetar los sistemas de coordenadas):
Supongamos que se calcula la velocidad en un sistema de coordenadas diferente $\{y^i\}$ sería $u_y^i(t) = dy^i/dt$ . Pero si conoces las coordenadas $y^i$ en función de las coordenadas $x^j$ se puede averiguar cómo se relacionan las dos velocidades:
$$u_y^i(t) = \frac{dy^i(x)}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} \frac{d x^j}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} u^j_x(t)$$
He utilizado la regla de la cadena y el hecho de que el $y^i$ son funciones del $x^j$ . $\partial y^i / \partial x^j$ tendrá diferentes propiedades en función de las coordenadas. En el espacio euclidiano de tres dimensiones se suelen utilizar coordenadas cartesianas y así $\partial y^i / \partial x^j$ sería una matriz de rotación; en la Relatividad Especial sería una transformación de Lorentz, y así sucesivamente. En la Relatividad General utilizamos todo tipo de coordenadas, y las transformaciones no serán en general lineales.
Así que ahora sabemos cómo se transforma la velocidad de una partícula (o, como lo llamarían los matemáticos, el vector tangente a una curva) cuando se cambian las coordenadas. A menudo resulta útil considerar dicho vector como un objeto $\vec{u}$ que es independiente de las coordenadas. De hecho, todo este asunto de las leyes de transformación y la convención de Einstein es una forma de asegurarse de que las cosas no dependen de las coordenadas. Las componentes de un vector (o de un tensor) dependerán de las coordenadas, pero si todo se transforma de la misma manera, las ecuaciones hechas con tensores tendrán la misma forma en diferentes sistemas de coordenadas.
Ahora podemos definir los vectores en general, pidiendo que tengan la misma ley de transformación que las velocidades:
A vector $\vec{X}$ es una función que asigna un conjunto de números (llamados sus componentes) $X_x^i\ (i = 1\dots n)$ a cada sistema de coordenadas $\{x^i\}$ , de tal manera que si $\{x^i\}$ y $\{y^i\}$ son dos sistemas de coordenadas, las componentes de $X$ están relacionados por
$$X_y^i = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} X_x^j$$
Nota al margen: Lo que he definido es técnicamente un campo vectorial, no un simple vector. Esta distinción no es importante aquí. Además, me estoy limitando a las bases de coordenadas para simplificar.
Esto es esencialmente lo mismo que la definición de "conjunto de números que se transforman así", pero me parece que es un poco más claro y explícito en cuanto a lo que son las cosas.
Un tensor puede definirse como algo que se transforma como productos de vectores: Si tomamos dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y definir la cantidad (dependiente de las coordenadas) $T_x^{ij} = u^i_x v^j_x$ , entonces en dos sistemas de coordenadas diferentes encontramos (definiendo $\Lambda^i_{\ j} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j}$ ):
$$T^{ij}_y = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x$$
Siguiendo la definición de un vector, podemos definir un $(2,0)$ tensor $T$ (no necesariamente un producto de vectores como el anterior) como una función que asigna un conjunto de números $T^{ij}_x$ a cada sistema de coordenadas, de manera que los componentes en dos sistemas diferentes sigan la ley de transformación anterior.
Ahora vamos a tu pregunta. Preguntas cómo demostrar que un tensor simétrico es un tensor, pero esta es una pregunta tautológica, porque un tensor simétrico tensor ¡obviamente es un tensor! Sospecho que la pregunta real es la siguiente. Has definido un tensor simétrico como uno que tiene la propiedad $T^{ij} = T^{ji}$ . Esta es una definición válida, pero depende a priori de las coordenadas. Nos gustaría demostrar que si la identidad anterior es verdadera en un sistema de coordenadas, lo es en todos ellos.
Así que supongamos que en algunas coordenadas $\{x^i\}$ sucede que $T_x^{ij} = T_x^{ji}$ para todos $i,j$ . Dejemos que $\{y^i\}$ sea un sistema de coordenadas arbitrario. Entonces
$$T_y^{ij} = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{lk}_x = \Lambda^j_{\ l} \Lambda^i_{\ k} T^{lk}_x = T_y^{ji}$$
Para obtener la segunda igualdad he utilizado que $T_x^{kl} = T_x^{lk}$ para conseguir la tercera igualdad he movido el $\Lambda$ s alrededor, y en la primera y última igualdad he utilizado la ley de transformación para un tensor. Así que hemos descubierto que si un tensor es simétrico en algún sistema de coordenadas, es simétrico en cualquier sistema de coordenadas. Por tanto, tiene sentido decir que la simetría es una propiedad del tensor en lugar de su representación en un sistema de coordenadas concreto.
Una última observación: Como has dicho, un tensor con dos índices se puede representar como una matriz. Las derivadas de la transformación $\partial y^i / \partial x^j$ también puede representarse como una matriz. Estas matrices tienen significados diferentes. Un tensor es un objeto independiente de las coordenadas, y su matriz cambiará si se cambian las coordenadas. Una transformación se define sólo entre un par específico de sistemas de coordenadas. Si tienes una matriz $\Lambda^i_{\ j}$ coordenadas de la relación $x$ y $y$ como el anterior, no tiene sentido preguntar qué $\Lambda$ parece que en coordiantes $z$ . Así, aunque un tensor simétrico tiene una matriz simétrica ( $A^T = A$ ) y una matriz de rotación es ortogonal ( $A^{-1} = A^T$ ), estas propiedades no están relacionadas entre sí.
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Una reciente diatriba mía relacionada (especialmente la segunda parte)
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¿Es mi pregunta acerca de probar si o no $S^{\mu\nu}$ ¿equivale a mostrar que un tensor simétrico de 2º orden sigue siendo simétrico cuando se transforma en cualquier otro sistema de coordenadas? Pero sí, entiendo que el objetivo de los tensores es mostrar que algunas cosas son invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Por ejemplo, con el tensor métrico tenemos la distancia entre dos puntos como invariante bajo la transformación de coordenadas.
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physicsforums.com/threads/
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Publicado de forma cruzada desde math.stackexchange.com/q/1432981/11127