5 votos

¿Cómo demostrar que un tensor simétrico es realmente un tensor?

Nuestro profesor definió un rango $(k,l)$ tensor como algo que se transforma como un tensor de la siguiente manera:

$$T^{\mu_1' \mu_2'...\mu_k'}{}_{\nu_1'\nu_2'...\nu_l'} ~=~ \Lambda^{\mu_1'}{}_{\mu_1}...\Lambda^{\mu_k'}{}_{\mu_k}~\Lambda^{\nu_1}{}_{\nu_1'}...\Lambda^{\nu_l}{}_{\nu_l'}~T^{\mu_1\mu_2...\mu_k}{}_{\nu_1\nu_2...\nu_l}$$

Dónde $\Lambda$ son las matrices de transformación de Lorentz (traslaciones, rotaciones o aumentos). No estoy seguro de si esto es sólo para SR o si también para GR, ya que hasta ahora sólo hemos hablado de SR, aunque GR es algo que cubriremos pronto.

Escribió en la pizarra: si $S_{\mu\nu\rho}=S_{\nu\mu\rho}$ entonces $S$ es simétrico en $\mu$ y $\nu$ .

Pero hablemos por un segundo de un tensor contravariante simétrico de rango (2,0), denotado $S^{\mu\nu}$ y es igual a $S^{\nu\mu}$ . ¿Cómo podríamos demostrar que es un tensor? Nuestro libro utiliza $R$ en lugar de $\Lambda$ en sus formulaciones anteriores, donde $R$ podrían ser sólo rotaciones. Estoy seguro de que los Tensores Generales tendrían cualquier jacobiano y los jacobianos inversos son matrices en lugar de sólo las transformaciones de Lorentz. Esta es la pregunta en el libro del Prof. Zee, "Einstein's Gravity in a Nutshell", Capítulo I.4 Ejercicios 2.

Además, si quieres dar a un estudiante como yo, que es nuevo en el tema de los tensores, algunos consejos para aprenderlos, y algunas propiedades de los mismos, y cómo trabajar con ellos, adelante :)

Además, ¿todas las transformaciones son transformaciones lineales homogéneas? - Se puede leer sobre esto en: http://www.math.ucla.edu/~baker/149.1.02w/handouts/e_htls.pdf

http://www.lecture-notes.co.uk/susskind/special-relativity/lecture-6/rank-two-tensors/ Esta conferencia da una bonita forma matricial de cómo es un tensor simétrico (2,0). Creo que esto puede ayudar, pensando en estos tensores como matrices mismas, visualmente. Básicamente son matrices simétricas de la forma $A^T=A$ . También podemos pensar en $\Lambda$ si es una matriz de rotación que tiene la propiedad $\Lambda^{-1}=\Lambda$ .

¿Sirve de algo esta imagen de abajo para el problema? enter image description here

0 votos

¿Es mi pregunta acerca de probar si o no $S^{\mu\nu}$ ¿equivale a mostrar que un tensor simétrico de 2º orden sigue siendo simétrico cuando se transforma en cualquier otro sistema de coordenadas? Pero sí, entiendo que el objetivo de los tensores es mostrar que algunas cosas son invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Por ejemplo, con el tensor métrico tenemos la distancia entre dos puntos como invariante bajo la transformación de coordenadas.

0 votos

4voto

nivag Puntos 1652

Un tensor no es particularmente un concepto relacionado con la relatividad (véase por ejemplo tensor de esfuerzo ), sino que es un concepto más general que describe las relaciones lineales entre los objetos, independientemente de la elección del sistema de coordenadas .

Esta independencia de coordenadas da lugar a la ley de transformación que das donde, $\Lambda$ , es sólo la transformación entre las coordenadas que estás haciendo. Para la relatividad especial es la transformación de Lorentz, pero en la física clásica puede ser una simple rotación. La cuestión es que el tensor se mantiene independientemente del cambio de coordenadas.

Por lo tanto, para demostrar que algo es un tensor sólo tienes que demostrar que obedece a la ecuación de transformación y que tu respuesta transformada sigue siendo un resultado válido y puede ser transformado de nuevo al original haciendo la transformación inversa.

0 votos

Así que si estoy demostrando que es un tensor en general, necesitaré conocer todas las propiedades de $\Lambda$ ? De lo contrario, ¿qué podría hacer con una expresión como $\Lambda^{\mu}\Lambda^{\nu}T^{\mu\nu}$ ? ¿Dices, sin embargo, que esto equivale a algo en lo que no he perdido información y que es invertible sin pérdida de información?

0 votos

Sé que si la transformación es para rotaciones entonces $\Lambda^{\mu}$ es sólo la matriz de rotación ortogonal. Si es para los boosts entonces tenemos una matriz con funciones hiperbólicas (no recuerdo si esta es ortogonal también?). Pero creo que cuando leo los problemas interpreto que pide el caso general de $\Lambda^{\mu}$ pero no lo sé.

0 votos

Todavía no sé cómo demostrar que un tensor simétrico es efectivamente un tensor? Estoy completamente perdido en esto.

3voto

barry Puntos 131

Nuestro profesor definió un rango $(k,l)$ tensor como algo que se transforma como un tensor

Oh, Dios. Demasiado común, y demasiado pedagógicamente defectuoso.

Un tensor no es ni más ni menos que un mapa lineal desde (posiblemente múltiples copias de) un espacio vectorial (y posiblemente copias de su espacio dual) hacia el campo escalar.

Si te doy componentes $T_{\mu\nu}$ (16 componentes en total) en un sistema de coordenadas/base específico, entonces puedes mapear dos vectores cualesquiera en un escalar con él. Simplemente considera los componentes del vector en el mismo sistema de coordenadas, y contrae los índices: $T(\vec{v},\vec{w}) = T_{\mu\nu} v^\mu w^\nu \in \mathbb{R}$ . Además este mapa es lineal por construcción. Así que es un tensor. No hay que comprobar nada en absoluto.

Lo que ocurre, sin embargo, es que a veces se escriben simultáneamente los componentes para (aparentemente) el mismo objeto en dos sistemas de coordenadas diferentes. Por ejemplo, tienes expresiones para los 16 $T_{\mu\nu}$ y otro 16 $T_{\mu'\nu'}$ . Si lo has hecho todo bien y de forma coherente y no te han engañado con un problema de libro de texto intencionadamente engañoso, estos conjuntos de componentes deberían ser relacionables a través de cualquier ley de transformación que te lleve genéricamente de las coordenadas no imprimadas a las imprimadas. Así que podría ser una buena idea comprobar que esto se cumple. Pero es sólo una comprobación de cordura.

O bien, alguien puede haberle entregado $T_{\mu\nu}$ y $T_{\mu'\nu'}$ y preguntar "¿son estos componentes del mismo objeto, sólo que en diferentes sistemas de coordenadas?" Entonces también puedes aplicar la transformación para comprobarlo. Si no funciona, no es que no tengas un tensor. Más bien, tienes dos tensores distintos.

2voto

Javier Puntos 4138

Si he entendido bien, estás preguntando cómo demostrar que la simetría de un tensor es independiente de las coordenadas, pero parece que tienes problemas con la definición de tensor. Bueno, no eres el primero. Permíteme darte una definición que puede ayudarte.

En primer lugar, supongamos que tenemos un espacio (puede ser un espacio3 o un espaciotiempo o lo que sea) y tenemos un conjunto de coordenadas $\{x^i\}$ definido en él. Y digamos que tienes una partícula moviéndose en tu espacio, con una trayectoria dada por $x^i = x^i(t)$ . Aquí $t$ es sólo un parámetro. Puedes encontrar las componentes de la velocidad en tu sistema de coordenadas: $u_x^i(t) = dx^i/dt$ . (Estoy utilizando subíndices para etiquetar los sistemas de coordenadas):

Supongamos que se calcula la velocidad en un sistema de coordenadas diferente $\{y^i\}$ sería $u_y^i(t) = dy^i/dt$ . Pero si conoces las coordenadas $y^i$ en función de las coordenadas $x^j$ se puede averiguar cómo se relacionan las dos velocidades:

$$u_y^i(t) = \frac{dy^i(x)}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} \frac{d x^j}{dt} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} u^j_x(t)$$

He utilizado la regla de la cadena y el hecho de que el $y^i$ son funciones del $x^j$ . $\partial y^i / \partial x^j$ tendrá diferentes propiedades en función de las coordenadas. En el espacio euclidiano de tres dimensiones se suelen utilizar coordenadas cartesianas y así $\partial y^i / \partial x^j$ sería una matriz de rotación; en la Relatividad Especial sería una transformación de Lorentz, y así sucesivamente. En la Relatividad General utilizamos todo tipo de coordenadas, y las transformaciones no serán en general lineales.

Así que ahora sabemos cómo se transforma la velocidad de una partícula (o, como lo llamarían los matemáticos, el vector tangente a una curva) cuando se cambian las coordenadas. A menudo resulta útil considerar dicho vector como un objeto $\vec{u}$ que es independiente de las coordenadas. De hecho, todo este asunto de las leyes de transformación y la convención de Einstein es una forma de asegurarse de que las cosas no dependen de las coordenadas. Las componentes de un vector (o de un tensor) dependerán de las coordenadas, pero si todo se transforma de la misma manera, las ecuaciones hechas con tensores tendrán la misma forma en diferentes sistemas de coordenadas.

Ahora podemos definir los vectores en general, pidiendo que tengan la misma ley de transformación que las velocidades:

A vector $\vec{X}$ es una función que asigna un conjunto de números (llamados sus componentes) $X_x^i\ (i = 1\dots n)$ a cada sistema de coordenadas $\{x^i\}$ , de tal manera que si $\{x^i\}$ y $\{y^i\}$ son dos sistemas de coordenadas, las componentes de $X$ están relacionados por

$$X_y^i = \frac{\partial y^i}{\partial x^j} X_x^j$$

Nota al margen: Lo que he definido es técnicamente un campo vectorial, no un simple vector. Esta distinción no es importante aquí. Además, me estoy limitando a las bases de coordenadas para simplificar.

Esto es esencialmente lo mismo que la definición de "conjunto de números que se transforman así", pero me parece que es un poco más claro y explícito en cuanto a lo que son las cosas.

Un tensor puede definirse como algo que se transforma como productos de vectores: Si tomamos dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y definir la cantidad (dependiente de las coordenadas) $T_x^{ij} = u^i_x v^j_x$ , entonces en dos sistemas de coordenadas diferentes encontramos (definiendo $\Lambda^i_{\ j} = \frac{\partial y^i}{\partial x^j}$ ):

$$T^{ij}_y = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x$$

Siguiendo la definición de un vector, podemos definir un $(2,0)$ tensor $T$ (no necesariamente un producto de vectores como el anterior) como una función que asigna un conjunto de números $T^{ij}_x$ a cada sistema de coordenadas, de manera que los componentes en dos sistemas diferentes sigan la ley de transformación anterior.

Ahora vamos a tu pregunta. Preguntas cómo demostrar que un tensor simétrico es un tensor, pero esta es una pregunta tautológica, porque un tensor simétrico tensor ¡obviamente es un tensor! Sospecho que la pregunta real es la siguiente. Has definido un tensor simétrico como uno que tiene la propiedad $T^{ij} = T^{ji}$ . Esta es una definición válida, pero depende a priori de las coordenadas. Nos gustaría demostrar que si la identidad anterior es verdadera en un sistema de coordenadas, lo es en todos ellos.

Así que supongamos que en algunas coordenadas $\{x^i\}$ sucede que $T_x^{ij} = T_x^{ji}$ para todos $i,j$ . Dejemos que $\{y^i\}$ sea un sistema de coordenadas arbitrario. Entonces

$$T_y^{ij} = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{kl}_x = \Lambda^i_{\ k} \Lambda^j_{\ l} T^{lk}_x = \Lambda^j_{\ l} \Lambda^i_{\ k} T^{lk}_x = T_y^{ji}$$

Para obtener la segunda igualdad he utilizado que $T_x^{kl} = T_x^{lk}$ para conseguir la tercera igualdad he movido el $\Lambda$ s alrededor, y en la primera y última igualdad he utilizado la ley de transformación para un tensor. Así que hemos descubierto que si un tensor es simétrico en algún sistema de coordenadas, es simétrico en cualquier sistema de coordenadas. Por tanto, tiene sentido decir que la simetría es una propiedad del tensor en lugar de su representación en un sistema de coordenadas concreto.

Una última observación: Como has dicho, un tensor con dos índices se puede representar como una matriz. Las derivadas de la transformación $\partial y^i / \partial x^j$ también puede representarse como una matriz. Estas matrices tienen significados diferentes. Un tensor es un objeto independiente de las coordenadas, y su matriz cambiará si se cambian las coordenadas. Una transformación se define sólo entre un par específico de sistemas de coordenadas. Si tienes una matriz $\Lambda^i_{\ j}$ coordenadas de la relación $x$ y $y$ como el anterior, no tiene sentido preguntar qué $\Lambda$ parece que en coordiantes $z$ . Así, aunque un tensor simétrico tiene una matriz simétrica ( $A^T = A$ ) y una matriz de rotación es ortogonal ( $A^{-1} = A^T$ ), estas propiedades no están relacionadas entre sí.

0 votos

Para conseguir la tercera igualdad, has movido las lamdas. Pero eso sólo sería posible si la transformación de Lorentz es conmutativa. ¿Qué me falta?

0 votos

@MycrofD cuando se utiliza la notación de componentes, todo son números, así que no importa el orden en que se escriban los factores. Recuerda que hay un signo de suma implícito.

0 votos

Entiendo lo que dices, en cierto modo. ¿Puede mostrar alguna referencia? He estado buscando en la red, pero no he encontrado ninguna fuente fiable. Incluso he encontrado una pregunta que dice que en general no son conmutativos. physicsforums.com/threads/

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X