Útil fibrations

Question

¿Cuáles son los más útiles fibrations que uno esté familiarizado con el fin de utilizar espectral de las secuencias de manera efectiva en topología algebraica? Hay al menos cuatro diferentes Hopf fibrations y $S^1\to S^{2n+1}\to \mathbb{C}\textrm{P}^n$. Otra cosa que es útil?

Podría agregar que una fibration me gustaría que alguien se lo explique es el homotopy de fibra de un mapa. Tengo problemas para envolver mi cabeza alrededor de ella.

Answer 1

Recomiendo Introducción a Homotopy Teoría, Arkowitz, Springer Universitext de 2011, $\S$3.4, p.93, y Notas de la Conferencia en Topología Algebraica, Davis & Kirk, AMS GSM 35 2002, $\S$4.3, 6.14, 7.7.

Deje $\mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$$d=1,2,4=\dim_\mathbb{R}\mathbb{F}$.

$\bullet$ Deje $n\!\in\!\mathbb{N}$. Deje $\mathbb{S}^n_\mathbb{F}=\{(x_0,\ldots,x_n)\!\in\!\mathbb{F}^{n+1};\, \sum_{i=0}^n\!|x_i|^2\!=\!1\}=\mathbb{S}^{d(n+1)-1}$$\mathbb{P}_\mathbb{F}^n=\frac{\mathbb{F}^{n+1}\setminus\{0\}}{x\sim \lambda x;\, \lambda\in\mathbb{F}\setminus\{0\}}$. Entonces $$\mathbb{S}^{0}_\mathbb{F} \longrightarrow \mathbb{S}^n_\mathbb{F} \overset{p}{\longrightarrow} \mathbb{P}^{n}_\mathbb{F}$$ is a fiber bundle, the Hopf fibration, where $p(x_0,\ldots,x_n)\!=\!(x_0\!:\ldots:\!x_n)$. There holds $\mathbb{P}^1_\mathbb{F}=\mathbb{S}^d$.

$\bullet$ Deje $0\!\leq\!l\!\leq\!k\!\leq\!n$. Vamos $V_\mathbb{F}^{k,n}$ $=$ $\{A\!\in\!\mathbb{F}^{n\times k};\, A\overline{A}^t\!=\!I_n\}$ $=$ $\{(v_1,\ldots,v_k)\!\in\!\mathbb{F}^{n\times k};\, v_1,\ldots,v_k\text{ are pairwise orthonormal}\}$ $\subseteq\mathbb{F}^{nk}$ con la topología de subespacio, la Stiefel colector de la dimensión real de $dnk\!-\!k\!-\!d\binom{k}{2}$, ya que el $\|v_i\|\!=\!1$ da $k$ ecuaciones de más de $\mathbb{R}$, e $v_iv_j\!=\!0$ $i\!<\!j$ da $\binom{k}{2}$ ecuaciones de más de $\mathbb{F}$. Entonces $$V^{k-l,n-l}_\mathbb{F} \!\!\longrightarrow V^{k,n}_\mathbb{F} \overset{p}{\longrightarrow} V^{l,n}_\mathbb{F}$$ is a fiber bundle, where $p(v_1,\ldots,v_k)\!=\!(v_{k-l+1},\ldots,v_k)$. No tiene $V_\mathbb{F}^{1,n}\!\!=\!\mathbb{S}_\mathbb{F}^{n-1}$$V_\mathbb{R}^{n-1,n}\!\!\approx\!\mathrm{SO}^n, V_\mathbb{C}^{n-1,n}\!\!\approx\!\mathrm{SU}^n$$V_\mathbb{R}^{n,n}\!\approx\!\mathrm{O}^n, V_\mathbb{H}^{n,n}\!\approx\!\mathrm{U}^n, V_\mathbb{H}^{n,n}\!\approx\!\mathrm{Sp}^n$. Así como un caso particular de $l\!=\!1,k\!=\!n$$l\!=\!1,k\!=\!n\!-\!1$, podemos obtener haces de fibras $$\begin{array}{ccc} \mathrm{O}^{n-1}\longrightarrow\mathrm{O}^n\longrightarrow\mathbb{S}^{n-1}, &\mathrm{U}^{n-1}\longrightarrow\mathrm{U}^n\longrightarrow\mathbb{S}^{2n-1}, &\mathrm{Sp}^{n-1}\longrightarrow\mathrm{Sp}^n\longrightarrow \mathbb{S}^{4n-1},\\ \mathrm{SO}^{n-1}\longrightarrow\mathrm{SO}^n\longrightarrow\mathbb{S}^{n-1}, &\mathrm{SU}^{n-1}\longrightarrow\mathrm{SU}^n\longrightarrow\mathbb{S}^{2n-1}. &\\ \end{array}$$ $$\mathrm{SO}^n\longrightarrow\mathrm{O}^n\overset{\det}{\longrightarrow}\mathbb{S}^0,\hspace{8mm}\mathrm{SU}^n\longrightarrow\mathrm{U}^n\overset{\det}{\longrightarrow}\mathbb{S}^1$$

$\bullet$ Deje $0\!\leq\!l\!\leq\!k\!\leq\!n$. Deje $G_\mathbb{F}^{k,n}= \{k\text{-dimensional vector subspaces of }\mathbb{F}^n\}= \{V\!\leq\!\mathbb{F}^n;\, \dim_\mathbb{F}\!V\!=\!k\}$ con topología cociente obtenido a partir del mapa $p\!:V_\mathbb{F}^{k,n}\!\rightarrow\!G_\mathbb{F}^{k,n}$ que envía a $p(v_1,\ldots,v_k)\!=\!\langle v_1,\ldots,v_k\rangle$, el Grassmann colector de la dimensión real ?. Entonces $$V^{k,k}_\mathbb{F} \longrightarrow V^{k,n}_\mathbb{F} \overset{p}{\longrightarrow} G^{k,n}_\mathbb{F}$$ is a fiber bundle, with $p$ given above. There holds $G^{1,n}_\mathbb{F}\!\!=\!\mathbb{P}_\mathbb{F}^{n-1}$, por lo que de Hopf fibrations son un caso especial.

$\bullet$ Deje $n\!\in\!\mathbb{N}$ $A\!\overset{\iota}{\longrightarrow}\!B\!\overset{p}{\longrightarrow}\!C$ ser morfismos de grupos (que son abelian si $n\!\geq\!2$) y $K(-,n)$ $n$- th Eilenberg–MacLane espacio functor. A continuación, $0\!\longrightarrow\!A\!\overset{\iota}{\longrightarrow}\!B\!\overset{p}{\longrightarrow}\!C\!\longrightarrow\!0$ es una secuencia exacta de los grupos de iff $$K(A,n)\: \overset{\iota_\ast}{\longrightarrow} \:K(B,n)\: \overset{p_\ast}{\longrightarrow} \:K(C,n)\text{ is a fibration.}$$

Answer 2

El fibrations $O(n-1)\to O(n) \to S^{n-1}$, $U(n-1)\to U(n) \to S^{2n-1}$, y $Sp(n-1)\to Sp(n) \to S^{4n-1}$ de periodicidad de Bott son bastante importantes. También la asignación de tori son haces de fibras. Por ejemplo, el complemento de un fibrado nudo en $S^3$.

Answer 3

Se menciona esto en su post, pero también existe la fibration asociados a cualquier mapa de base de los espacios de $f\colon (X,x_0)\to (Y,y_0)$ el uso de la homotopy fibra: $\operatorname{hofib}(f)\to P_f\to Y$. Aquí, $P_f=\{(x,\gamma)\in X\times Y^I | \gamma(0)=f(x)\}$, e $\operatorname{hofib}(f)$ el (estricto) de la retirada de los mapas de $P_f\to Y$ $(x,\gamma)\mapsto \gamma(1)$ $*\to Y$ es la inclusión del punto base. Alternativamente, es el homotopy retroceso de $X\to Y\leftarrow*$. La estricta retroceso de este diagrama es $f^{-1}(y_0)$, que es la razón por la que somos justificados en llamar a este el homotopy de fibra. Explícitamente, $$\operatorname{hofib}(f)=\{(x,\gamma)\in X\times Y^I | \gamma(0)=f(x),\gamma(1)=y_0\}$$ Tenga en cuenta que debido a $P_f$ es homotopy equivalente a $X$ (shrink los caminos $\gamma$ constante caminos), este fibration está escrito $\operatorname{hofib}(f)\to X\to Y$. La razón principal por la que nos gusta este fibration es porque nos da una larga secuencia exacta de homotopy grupos para cualquier mapa de espacios.

Esto se generaliza en la teoría de la cúbico de diagramas. Es decir, dado un mapa de la cúbica diagramas $Z\colon X\to Y$, obtenemos un fibration con un total de fibras: $\operatorname{tfib}(Z)\to\operatorname{tfib}(X)\to\operatorname{tfib}(Y)$. En el caso del párrafo anterior en el caso de las $Z$ es un mapa de $0$-cubos. Un $0$-cubo es un espacio, y el total de la fibra de un mapa de espacios es el homotopy de fibra.

Answer 4

Hay el camino de la fibration $\Omega B \to PB \to B$, donde el punto de base $* \in B$,

$PB = \{\gamma:[0,1]\to B \ |\ \gamma(0) = *\}$ se llama el camino de espacio de $B$, y

$\Omega B = \{\gamma:[0,1]\to B \ |\ \gamma(0) = \gamma(1) = *\}$ es el bucle espacio de $B$.

El mapa de $p:PB \to B$ es el extremo mapa de $\gamma \mapsto \gamma(1)$.

No estoy muy seguro de lo que quieres decir por `memorizar" una fibration, pero esta es una de las más útiles para entender.