Permita que$M$ sea una variedad de Riemann con límite totalmente geodésico$\partial M$. Consideramos su doble$\check{M}$, es decir, la unión disjunta de$M$ con la identificación de los puntos límite correspondientes. Es bien sabido que$\check{M}$ es un colector liso. ¿Puede decirme si la métrica sigue siendo uniforme a lo largo del límite o, de lo contrario, cuál es su grado de regularidad? ¿Puede decirme también qué significa que el límite sea una superficie isoperimétrica para$M$?
Respuesta
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Aquí está un ejemplo de un suave métrica, cuya doble no es $\mathcal C^3$:
Considerar el buen colector $M = ]-1,1[ \times \mathbb R$ con el sistema de coordenadas global $(t,s)$ donde$t\in ]-1,1[$$s \in \mathbb R$. Podemos definir un suave métrica en $M$ a través de $$g(s,t) = dt^2 + (t^3 + 1)^2ds^2.$$ La suavidad de $g$ sigue desde $(t^3 + 1)$ es suave y no se desvanecen en $]-1,1[$. Ahora uno puede mostrar que $s \mapsto (0,s)$ define una geodésica de $(M,g)$ (esto podría no ser demasiado trivial, pero es esencialmente debido al hecho de que $(t^3 + 1)$ tiene un punto de silla en a $t = 0$). Considere la posibilidad de $N := [0,1[ \times \mathbb R \subset M$, lo que define un suave submanifold con límite de $M$. A continuación, $(N,g_N)$ es un buen Riemann manifold con frontera. Deje $(\tilde N,\tilde g)$ ser la de riemann doble. Pretendemos que $\tilde g$ no $\mathcal C^3$:
Para ver esto vamos a $K(t,s)$ ser la curvatura seccional de $g$$(t,s)$. Para una métrica $dt^2 + f^2(t)ds^2$ no es la bien conocida fórmula $$K(s,t) = \frac{f''(t)}{f(t)}.$$ En nuestro caso $$K(t,s) = K(t) = \frac{t}{t^3 + 1}$$ y $$K'(t) = \frac{1}{(t^3 + 1)^2}.$$ En particular,$K'(0) = 1$. Ahora, considere el doble métrica $\tilde g$ de la doble $\tilde N$$(N,g_N)$. De nuevo tenemos a $\tilde N \cong ]-1,1[ \times \mathbb R$ con coordenadas $(t,s)$ anterior.
Ahora asumir la métrica $\tilde g$$\mathcal C^3$. A continuación,$t \mapsto \tilde K(t)$$\mathcal C^1$. Por otro lado, el mapa de $(t,s) \mapsto (-t,s)$ es una isometría de $\tilde N$. Esto implica que $\tilde K'(0) = 0$. Pero tenemos $\tilde K(t) = K(|t|)$$t \neq 0$, lo $\lim_{t \to 0}\tilde K'(t) = \lim_{t \to 0} K'(t) = 1$, una contradicción.
En general, me imagino, que el doble métrica siempre es $\mathcal C^2$, debido a la fuga de la segunda forma fundamental en $\partial M$, pero no necesariamente tres veces diferenciable.
