¿Por qué la variable aleatoria se define como una asignación del espacio de muestra?

Question

Considere un espacio de probabilidad$(\Omega, \mathcal{F}, P)$. ¿Por qué en la definición de una variable aleatoria$X$ se requiere que$X$ sea una asignación del espacio de muestra y no del$\sigma$ - álgebra de eventos? Es decir, ¿por qué$X: \Omega \rightarrow R$ y no$X: \mathcal{F} \rightarrow R$?

Answer 1

Esto fue publicado originalmente como un comentario:

Aquí es una pregunta cuya meta es hacer que usted entiende lo que otros ya escribieron. A seguir tu sugerencia y suponga que X: $\mathcal{F}\to\mathbb{R}$ de su favorito de la variable aleatoria X (por ejemplo, el resultado de la tirada de un dado, es decir, un entero de 1 a 6). ¿Qué número sería X(∅) y X(Ω)?

A los que Leo respondió a esta:

Este es un punto muy bueno, gracias. Me hizo darme cuenta de que los eventos de $\mathcal{F}$ pueden ocurrir simultáneamente; en particular, el evento Ω siempre sucede con cualquier evento. Si definimos X en $\mathcal{F}$, ¿cómo elegir sus valores? Para un "morir" variable aleatoria, por ejemplo, no hay manera de definir en Ω.

Answer 2

La razón principal es que en la teoría de la probabilidad, a menudo se trabaja con múltiples $\sigma$-álgebras definida sobre un espacio muestral $\Omega$.

Un muy ejemplo estándar es una colección de $\sigma$-álgebras $({\mathcal F})_{n \in {\mathbb Z}}$ tal que ${\mathcal F}_n \subset {\mathcal F}_{n+1}$ todos los $n \in {\mathbb Z}$. Si uno piensa acerca de las $\sigma$-álgebra como una cantidad de conocimientos acerca de la $\Omega$, esto representaría gradual de la recolección de la información. Por lo tanto, si $X$ ${\mathcal F}_n$- medible para algunos $n \in {\mathbb Z}$, naturalmente, será medir en todo el "más tarde" álgebras de ${\mathcal F}_m$, $m \geq n$. Desde este punto de vista, es más natural pensar en $X$ residen en $\Omega$ más que en concreto $\sigma$-álgebra. [Nota: no obstante, es cierto que existe también un canónica $\sigma$-álgebra asociada con $X$, es decir, $\sigma(X)$ que es un menor $\sigma$-álgebra que hace que $X$ medibles.]

Otra razón por la que uno no quiere restringir la variable aleatoria a un particular, $\sigma$- álgebra es que a menudo usamos las operaciones, tales como la esperanza condicional $\mu(X|{\mathcal A})$ de la variable aleatoria w.r.t. $\sigma$-álgebra. Operaciones como éstas de manera efectiva el cambio de lo que cabría considerar la posibilidad de un dominio de la variable aleatoria a partir de una $\sigma$-álgebra a otro.

Hay mucho más que decir y todo tiene que ver con probabilístico forma de pensar pero la conclusión sería que en la teoría de la probabilidad uno tiene una cantidad enorme de libertad de cómo modelar el problema dado: hay no canónica espacio muestral, no canónica $\sigma$-álgebra y la no canónica de medida; cada uno de ellos puede ser ampliada y restringida como la necesidad lo requiere.

Answer 3

El espacio de muestra se puede ver como los "estados de la naturaleza". Una variable aleatoria representa una medida del sistema bajo observación. El$\sigma$ - álgebra representa los subconjuntos del espacio de muestra al que podemos asignar probabilidad.