Si $y =\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+ \cdots}}}$ ¿Cuál es el valor de $y^2-y$ ?

Question

Si $$y =\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5 + \cdots}}},$$

cuál es el valor de $y^2-y$ ?

No puedo conseguir la pista debido a estos signos alternativos de más y menos por favor ayuda en esto gracias...

Answer 1

Una pista: $$\begin{align} (y^2 -5)^2 - 5 &= -y \\ y^4 - 10y^2 + 25 - 5 + y &= 0 \\ y^4 -10y^2 + y + 20 &= 0. \end{align} $$ Editar: Para profundizar un poco en los comentarios que se dan a continuación: se ha producido un ecuación cuártica deprimida . Tal y como se explica en el artículo de la Wikipedia, se puede intentar factorizar esto en cuadráticas $$ y^4 -10y^2 + y + 20 = (y^2 +py + q)(y^2 + ry + s). $$ Todo lo que tienes que hacer es encontrar $p,q,r$ y $s$ . Usted obtiene $$\begin{align} y^4 -10y^2 + y + 20 &= (y^2 +py + q)(y^2 + ry + s)\\ &= y^4 + (p + r)y^3 + (q + s + pr)y^2 + (ps + qr)y + qs. \end{align} $$ Ahora pon los coeficientes iguales entre sí y resuelve...

Answer 2

De hecho, hay otra manera:

Dejemos que $x =\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5 - \cdots}}}$ ,

entonces es fácil ver

$y^2 = 5 + x$ , $x^2 = 5 - y$

entonces $y^2 - x^2 = x+y$ Por lo tanto $y-x = 1$

Así, $$y^2 - y = y^2 - 1 - x = 5 + x - (1+x) =4$$

Answer 3

Considere $z_{-+} = -y = -\sqrt {5 + \sqrt{5 - \ldots}}$ .
$z_{-+}$ es claramente una solución a la ecuación $(z^2 -5)^2-5 = z$ , y las otras tres soluciones de este grado $4$ ecuación polinómica, debe ser $z_{+-} = +\sqrt {5 - \sqrt{5 + \ldots}}, z_{++} = +\sqrt {5 + \sqrt{5 + \ldots}}$ y $z_{--} = -\sqrt {5 - \sqrt{5 - \ldots}}$ .

Pero $z_{++}$ y $z_{--}$ son en realidad la solución de una ecuación polinómica más sencilla, que es $z^2-5 = z$ .

Así que $z^2-z-5$ tiene que ser un factor de $(z^2-5)^2-z-5$ y haciendo la división, se termina con $(z^2-5)^2-z-5 = z^4-10z^2-z+20 = (z^2-z-5)(z^2+z-4)$ Por lo tanto $z_{-+}^2 + z_{-+} - 4 = 0$ . De ahí se concluye que $y^2-y = z_{-+}^2 + z_{-+} = 4$ .