¿Cuándo es$F(x,t)=\int_0^tf(x,\eta)\,d\eta$ una función continua de$x,t$?

Question

He leído algunos resultados acerca de las integrales de la forma $$\int_D f(x,t)\,dt$$ for instance, the dominated convergence theorem and MCT. Also I see results for $F(x) = \int_0^\infty f(x,t)\,dt$ being continuous at $x_0$, provided $\int_0^t f(x,\eta)\,d\eta$ has a limit as $t \to \infty$ which is uniform in some open set around $x_0$. Also, under somewhat more stringent conditions, $\lim_{x\to\infty}\int_0^\infty f(x, \eta) \,d\eta = \int_0^\infty \lim_{x\to\infty} f(x, \eta) \,d\eta$. And of course if we fix $x_0$, of course $\int_0^t f(x_0,\eta)\,d\eta$ is continuous in $t$ por la continuidad de la integral.

Supongamos que en el otro lado, nos fix $t_0$. Cuando se $F(x)=\int_0^{t_0} f(x,\eta)\,d\eta$ continua en $x_0$? Ya que esto debería ser más fácil que la integral impropia se mencionó anteriormente, ciertamente parece bastante fuerte que $f(x,\eta)$ converge uniformemente $t \to t_0$ en un barrio alrededor de $x_0$. Pero, ¿podemos obtener con menos?

Es, entonces, una sencilla extensión para mostrar cuando $$F(x,t)=\int_0^tf(x,\eta)\,d\eta,$$

es un continuo multivariable función de $(x,t)$? ¿Qué restricciones necesitamos en $f(x, \eta)$?

Pido disculpas si estos son de fácil consecuencias de los otros teoremas, y no estoy viendo. También pido disculpas si estos son canónicos resultados que no sé. Una búsqueda en google no me ayuda a responder a estas preguntas.

Answer 1

Suponga que $f$ se define en $X\times I$ donde $X$ es un espacio métrico y $I$ es un intervalo de $\mathbb R$ contiene $0$. Aquí es razonablemente conjunto general de condiciones que aseguren que la función de $F$ está bien definido y continuo:

(o) $f(x,t)$ es medible con respecto a $t$, para cada uno de ellos fijo $x\in X$;

(i) $f(x,t)$ es continua con respecto a $x$, para cada uno de ellos fijo $t\in I$;

(ii) para cualquier conjunto compacto $K\subset X$ y cualquier intervalo compacto $J\subset I$, no es una función integrable $g:J\to \mathbb R_+$ tal que $\vert f(x,\eta)\vert\leq g(\eta)$ siempre $(x,\eta)\in K\times J$

Tenga en cuenta que estas condiciones son satisfechas si $f(x,t)$ es continua wrt $x$ $f$ es localmente acotada en $X\times I$; en particular, esto es si $f$ $jointly$ continua en $X\times I$.

Condiciones (o) y (ii) por $K=\{ x\}$ $J=[0,t]$ implica que el $F(x,t)$ está bien definido para cualquier $(x,t)$.

Para comprobar la continuidad en algún momento dado de la $(x,t)$, fijemos una secuencia $(x_n,t_n)\subset X\times I$ convergentes a $(x,t)$. A continuación, $K=\{ x\}\cup \{ x_n;\; n\in\mathbb N\}$ es un subconjunto compacto de $X$, y uno puede encontrar un intervalo compacto $J\subset I$ contiene $\{ t\}\cup\{ t_n;\; n\in\mathbb N\}\cup\{ 0\}$. Deje $g:J\to\mathbb R_+$ ser elegido de acuerdo a (ii). Suponiendo, por ejemplo,$t_n\geq t$, uno puede escribir \begin{eqnarray*} \left\vert F(x_n,t_n)-F(x,t)\right\vert&=&\left\vert \int_0^{t_n} f(x_n,\eta)\, d\eta-\int_0^t f(x,\eta)\, d\eta\right\vert\\ &=&\left\vert \int_t^{t_n} f(x_n,\eta)\, d\eta+\int_0^t \left(f(x_n,\eta)-f(x,\eta) \right)\, d\eta\right\vert\\ &\leq& \int_t^{t_n} g(\eta)\, d\eta +\int_J \vert f(x_n,\eta)-f(x,\eta) \vert\, d\eta \end{eqnarray*}

La segunda integral en el lado derecho va a $0$ por (i) el teorema de convergencia dominada; y el primero también por la convergencia dominada de nuevo, porque puede ser escrito como $\int_J \mathbb 1_{(t,t_n)}(\eta)g(\eta)\, d\eta$. Esto demuestra que $F$ es continua en a $(x,t)$.