Para $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 + \frac{1}{x^2 y^2}}$ los puntos críticos son $(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)$ y todos sus valores en la función es $3$ . ¿Cómo se puede saber que son máximos o mínimos?
El problema de ejemplo dice que como los valores de los puntos críticos son todos $3$ Esto implica que son mínimos sin necesidad de cálculos adicionales. ¿Cómo se puede saber sólo por la observación?
La función auxiliar $$g(u,v):=u+v+{1\over uv}\quad \bigl((u,v)\subset Q:=({\mathbb R}_{>0})^2\bigr)$$ es $\geq M$ cuando $u+v\geq M$ y va a $\infty$ cuando $u\to0+$ o $v\to0+$ . De ello se desprende que $g$ supone un mínimo global en $Q$ y que este mínimo se produce en un punto crítico $(\xi,\eta)\in Q$ . El cálculo muestra que $(1,1)$ es el único punto crítico de $g$ en $Q$ de modo que, sin más cálculos, podemos decir que $$g(u,v)\geq g(1,1)=3\quad\forall (u,v)\in Q\ .\tag{1}$$ La función $f$ definida en la pregunta tiene como dominio la unión de los cuatro cuadrantes abiertos del $(x,y)$ -y es uniforme con respecto a $x$ y a $y$ . Por lo tanto, basta con estudiar $f$ en el primer cuadrante $Q$ . La sustitución $u:=x^2$ , $v:=y^2$ transforma $Q$ a $Q$ y $f^2$ en la función $g$ estudiado arriba. En $(1)$ por lo que podemos concluir que $$f(x,y)\geq f(1,1)=\sqrt{g(1,1)}=\sqrt{3}\qquad\bigl((x,y)\in Q\bigr)\ .$$ De ello se desprende que $\sqrt{3}$ es el valor mínimo global de $f$ en su dominio.
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