notaciones de generadores y relaciones

Question

Necesito entender lo siguiente sobre generadores y notaciones de relaciones:

• Es $\langle a,b \mid a^kb^l\rangle =\langle a,b\mid a^k=b^l\rangle =\langle a,b\mid a^k,b^l\rangle$?

• Es $ \langle a,b\mid a^k=b^l\rangle =\langle a,b\mid a^k=b^l=1\rangle$? (si no, ¿por qué?)

• ¿Cuál de ellos es$\mathbb Z_k \ast \mathbb Z_l$?

Answer 1

Tenemos $\langle X|R\rangle=\langle X|S\rangle$ fib de las relaciones $R$ $S$ son lógicamente equivalentes. En particular, si son lógicamente equivalentes, entonces ellos son lógicamente equivalentes para grupos arbitrarios. Por lo tanto para refutar la igualdad es suficiente para la exhibición de los grupos con los elementos (identificado con $X$) satisfacción de las relaciones $R$ que no se ajusten a las relaciones de $S$, o vice-versa.

Aquí estamos pensando en la igualdad como más fuerte que el isomorfismo. Por $\langle X,R\rangle=\langle X,S\rangle$ lo que significa que no sólo son los grupos isomorfos, pero que $x\mapsto x$ ($x\in X$) se extiende a un isomorfismo.

Por ejemplo, para refutar $\langle a,b|a^kb^l\rangle=\langle a,b|a^k=b^l\rangle$, es suficiente para la exhibición de un grupo de $G$ $a,b\in G$ satisfacción $a^kb^l=e$, pero no la satisfacción de $a^k=b^l$. La idea es que la única manera de $a^k=b^l$ es compatible con $a^kb^l=e$ ($\Leftrightarrow a^k=b^{-l}$) es si $a^k$ tiene fin $\mid2$ ($x=x^{-1}\Leftrightarrow x^2=e$), así que vamos a forzar a que no tienen el fin de dividir a $2$ pero todavía tienen algo de $l$th raíz. En particular, vamos a $a=l$, $b=-k$ dentro de ${\bf Z}/3kl{\bf Z}$. A continuación, $a^k$ escrito de forma aditiva es$kl$$b^l$$-kl$, lo $a^kb^l=e$. Pero $a^k\ne b^l$ $kl\ne- kl$ mod $3kl$.

Ahora intenta.

Para el producto gratuito, que "colas" de los grupos juntos, tenemos $\langle X,R\rangle*\langle Y,S\rangle\cong\langle X\cup Y|R\cup S\rangle$ al $X$ $Y$ son disjuntas. Por lo tanto $C_k*C_l=\langle a|a^k\rangle*\langle b|b^l\rangle\cong\langle a,b|a^k,b^l\rangle=\langle a,b,a^k=b^l=e\rangle$.

Answer 2

En una presentación de un grupo, las relaciones se entienden igual a la identidad. Así que en tus ejemplos

$\langle a, b| a^kb^l\rangle$ es generado por $a$$b$$a^kb^l=e\Rightarrow a^k=b^{-l}$. A partir de esto podemos ver que las tres presentaciones en la fila de arriba no son los mismos. Nota, sin embargo, que aunque las presentaciones no son lo mismo no significa que los grupos no son isomorfos.

En particular, $\langle a, b| a^kb^l\rangle\neq\langle a, b| a^kb^{-l}\rangle=\langle a, b| a^k=b^l\rangle$, donde el $\neq$ significa que las presentaciones no son lo mismo, pero los grupos son isomorfos.

Con respecto a tu pregunta final

$\mathbb{Z}_k\ast\mathbb{Z}_l\simeq\langle a, b| a^k, b^l\rangle$