Interesante Propiedad de los Números en inglés

Question

Yo estaba jugando con las letras en números escritos en inglés y me encontré con algo bastante divertido. He encontrado que si se cuenta el número de letras en el número y escribo esto como un número y, a continuación, cuente el número de letras en este nuevo número y tener que repetir el proceso, se llega a la número 4. He confirmado esto (usando un programa de ordenador) para todos los números hasta 999999 y me estaba preguntando si hay una manera de probar esto o para encontrar un contraejemplo para que no se sostiene.

Sólo para dar un ejemplo de la afirmación anterior, vamos a empezar con treinta y siete (yo elegí esta al azar) Treinta y siete tiene 11 letras, Once tiene 6 letras, Seis tiene tres letras, Tres tiene 5 letras, Cinco tiene 4 letras. Puede parecer que me acaba de recoger este número, así que permítanme mostrarles este otro número aleatorio, decir 999. Novecientos noventa y nueve tiene 24 letras, veinticuatro tiene 10 letras, Diez tiene 3 letras, Tres tiene 5 letras, Cinco tiene 4 letras.

¿Cuáles son sus pensamientos acerca de cómo probar esto?

(Sólo una nota: sólo he confirmado que trata de los números escritos en el estándar Británico manera de escribir los números - por ejemplo 101 es uno de cien y uno)

Answer 1

Definir $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ como el número de letras en un determinado número natural escritas.

Cuatro es el único punto fijo en $f$, y no es demasiado difícil ver que $f$ es casi siempre estrictamente decreciente con la única excepción de uno, dos, tres y cuatro. Por lo que el $n^{th}$ itera $f$ el tiempo debe ser menor que 5, la cual no deja muy muchos casos a verificar.

Answer 2

Tenga en cuenta que el número de letras en el número es casi siempre va a ser menor que el número en sí; de hecho, esto debería ser cierto para todos los números de más de cuatro. Cuatro es el único número que tiene esta propiedad (que el número de letras es igual al propio número). Por lo tanto, podemos decir que si a un número se repite con el tiempo, se debe repetir a las 4. Además, dado que el valor del número de letras en el número siempre es menor que el número en sí mismo para los valores mayores que 4, el número es siempre decreciente hasta cuatro.

Así que, todo lo que queda es mostrar que los números de 3,2 y 1 siempre ir a 4 finalmente, y luego se puede saber lo que se volverá a repetir. 3 va a 5, que pasa a 4. 1 y 2 vaya a la 3 que vaya a la 5 que ir a 4. Aunque esto es bastante informal, esta es la esencia de cómo podría ser demostrado.

Answer 3

SUGERENCIA

$2 \to 3 \to 5 \to 4$

$3 \to 5 \to 4$

$4 \to 4$

$5 \to 4$

$6 \to 3 \to 5 \to 4$

$7 \to 5 \to 4$

$8 \to 5 \to 4$

$9 \to 4$

$10 \to 3 \to 5 \to 4$

etc.