taylor de$\frac{1}{z}$ en$a=-2$

Question

Quiero encontrar la serie de taylor de la representación de $f(z)=\frac{1}{z}$$a=-2$.

El punto de este ejercicio no es para encontrar algún patrón en los derivados, de hecho, no estamos destinados a encontrar cualquiera de los derivados.

La idea es de alguna manera el uso de la conocida fórmula $\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n$ u otras manipulaciones.

Esto es lo que ha hecho el maestro, y me parece muy deficiente, no puedo entender cómo ha llegado a su respuesta y agradecería una explicación

$\frac{1}{z}=\frac{1}{z+2-2}=-\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n-1}(z+2)^n$, sin ningún tipo de explicación.

Entiendo por qué las $\frac{1}{z}=\frac{1}{z+2-2}$ obviamente, pero ¿por qué eso es igual a la suma?

Answer 1

ps

Answer 2

$$ \ frac {1} {z} = \ frac {1} {z +2-2} = - \ frac {1} {2-2-z} $$ Esto lleva a $$ - \ frac {1} {2} \ frac {1} {1- \ frac {(2 + z)} {2}} $$ Supongo.

Answer 3

usted entiende que el radio de convergencia de la serie geométrica$\dfrac{1}{1- u} = 1 + u + u^2 + \cdots $ es$|u| < 1.$ si quiere expandir$\dfrac{1}{z}$ sobre$z = -2,$, entonces la convergencia de radio puede ser, como máximo,$2$ porque$\dfrac{1}{z}$ no está definido en$z = 0$ y es por eso que escribes

$$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{-2 + (z+2)} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1 - (z+2)/2} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1 - u}=-\dfrac{1}{2}\{ 1 + u + u^2 + \cdots\} \text{ for } |u| < 1$$ where we have used $ u = \ dfrac {z +2} {2}$ and $ | u |