¿Qué significa tensor en un contexto de física?

Question

Estoy tomando una mecánica de fluidos de la clase y no sabemos mucho de física. Yo estaba confundido en la clase cuando el profesor llamó a este derivado de la matriz de un flujo de fluido (Una función de $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ que representan el flujo de fluido velocidad) un tensor.

Confieso que yo no se mucho de la lectura de la altamente abstracto de las matemáticas definición de tensor (multilineal, posiblemente antisimétrica etc.) y me estaba preguntando si podía obtener alguna información sobre cómo los físicos utilizan y pensar en ellos? Es sólo algo multi-indexada?

Cualquier sugerencia de materiales para leer también sería apreciada!

Answer 1

Usted puede encontrar la definición rigurosa en cualquier lugar, así que aquí permítanme dar un simple perspectiva: los Tensores son bloques de construcción de las ecuaciones que son el sistema de coordenadas independientes.

Por ejemplo, el ancho de un coche cuando lo ves desde atrás será diferente que el "ancho" del coche cuando se gira 90 grados. Esto es debido a esto escalar "ancho", no es un producto de un tensor. Por otro lado, la longitud de una varilla siempre será el mismo independientemente del sistema de coordenadas en el que se examina, debido a que la longitud de un objeto es $l=\sqrt{\vec{l}\cdot\vec{l}}$, y el vector $\vec{l}$ es un tensor.

Como los vectores, otros tensores, tales como el tensor de inercia $I_{ab}$ son usados en las ecuaciones para hacerlos sistema de coordenadas independientes. Llamamos tensorial ecuaciones. Por ejemplo, Einstein GR ecuación es aproximadamente el $G_{\mu\nu}\sim T_{\mu\nu}$ que relaciona dos tensores de segundo rango, por lo tanto es válido en todos los sistemas de coordenadas.

Hoy en día, sabemos que tensorial ecuaciones no son suficientes para describir la física de QM, por lo tanto, además utilizamos spinor ecuaciones. Ellos son la versión generalizada de los tensores.

El punto clave para ambos tensores y spinors es que todos ellos son aproximadamente el adecuado a los operadores a trabajar si queremos respetar a algún grupo de la transformación. Y la mayoría del tiempo, este grupo es exactamente el mismo que rige las transformaciones de coordenadas queremos que la ecuación a ser independientes. Por ejemplo, en la Relatividad Especial, queremos que las ecuaciones para ser independiente de transformaciones de coordenadas, que se $SO(3,1)$ transformaciones, por lo que vamos a construir nuestro ecuaciones por medio de la $SO(3,1)$ tensores.

Answer 2

En física se utiliza el siguiente (en el caso de que el tensor de concepto en el espacio tridimensional, para que sea más sencillo):

escalares: estos tienen un solo valor en el campo de los números reales en cada punto es el espacio . Ejemplo: la temperatura, la

vectores: estos tienen tres valores en el campo de los números reales en cada punto en el espacio y obedecen vectoriales álgebra. Son útiles para describir direccional observaciones. ejemplo: fuerza, velocidad. (v_x,v_y,v_z) se describe la velocidad y (v. v), el producto escalar de los vectores es un único número real que es la velocidad. Supongo que usted está familiarizado con esto.

En el estudio y la medición de los fenómenos naturales se encontró que estos no fueron suficiente en la descripción de los sistemas físicos. Los tensores se introdujeron, donde por cada punto en el espacio de nueve números son necesarios para describir los datos. No es suficiente saber la componente x del valor del objeto de estudio, ya que los cambios de valor ( a x fijo) para diferentes valores del eje y y del eje z.

Los tres obedecer particular ecuaciones de transformación de coordenadas. Los escalares no valor de cambio, vectores y tensores de seguir las reglas de las transformaciones.

Una representación de la matriz para un tensor hace que sea más sencillo:

Este ejemplo es un tensor simétrico , pero bueno para un ejemplo. Mirando las columnas es como un vector (x,y,z) componentes, buscando en la fila de la misma. Se utiliza para cantidades físicas que difieren en este "peculiar" forma y la necesidad de los nueve componentes de tener sentido. Por ejemplo eléctricos de susceptibilidad en algunos de celosías de cristal.

Answer 3

En coordenadas cartesianas, un vector puede representarse como una suma de componentes veces vectores unitarios:$$\vec{V}=V_x\vec{i}_x+V_y\vec{i}_y+V_z\vec{i}_z$$del mismo modo, un 2º orden del tensor puede ser representada como una suma de componentes de los tiempos de los pares de vectores unitarios: $$\vec{T}=T_{xx}\vec{i}_x\vec{i}_x+T_{xy}\vec{i}_x\vec{i}_y+T_{xz}\vec{i}_x\vec{i}_z+T_{yx}\vec{i}_y\vec{i}_x+T_{yy}\vec{i}_y\vec{i}_y+T_{yz}\vec{i}_y\vec{i}_z+T_{zx}\vec{i}_z\vec{i}_x+T_{zy}\vec{i}_z\vec{i}_y+T_{zz}\vec{i}_z\vec{i}_z\tag{1}$$

Dos vectores se colocan en la yuxtaposición como este, con ninguna operación matemática implícita entre ellos, se llama una díada. Un ejemplo de una díada es $\vec{a}\vec{b}$ donde $\vec{a}$ $\vec{b}$ son vectores. Una díada no cumplir con su misión en la vida hasta que está salpicada de otro vector. A continuación, se asigna el otro vector en un nuevo vector. Aquí están las dos reglas simples para que salpican una díada con un vector: $$\vec{c}\centerdot \vec{a}\vec{b}=(\vec{c}\centerdot \vec{a})\vec{b}=\vec{d}\tag{2}$$ $$\vec{a}\vec{b}\centerdot \vec{c}=\vec{a}(\vec{b}\centerdot \vec{c})=\vec{e}\tag{3}$$ En Eqn. 2, la díada $\vec{a}\vec{b}$ asigna el vector $\vec{c}$ en un nuevo vector $\vec{d}$, y el vector $\vec{d}$ tiene la misma dirección que el vector $\vec{b}$. En Eqn. 3, la díada $\vec{a}\vec{b}$ asigna el vector $\vec{c}$ en un nuevo vector $\vec{e}$, y el vector $\vec{e}$ tiene la misma dirección que el vector $\vec{a}$. Una suma de componentes veces díadas como Eqn. 1 se llama diádica. Vamos a ver qué pasa si nos salpican el diádica suma en Eqn. 1 sobre su lado derecho por un vector unitario en una dirección arbitraria,$\vec{n}=n_x\vec{i}_x+n_y\vec{i}_y+n_z\vec{i}_z$:$$\vec{T}\centerdot \vec{n}=(T_{xx}\vec{i}_x\vec{i}_x+T_{xy}\vec{i}_x\vec{i}_y+T_{xz}\vec{i}_x\vec{i}_z+T_{yx}\vec{i}_y\vec{i}_x+T_{yy}\vec{i}_y\vec{i}_y+T_{yz}\vec{i}_y\vec{i}_z+T_{zx}\vec{i}_z\vec{i}_x+T_{zy}\vec{i}_z\vec{i}_y+T_{zz}\vec{i}_z\vec{i}_z)\centerdot (n_x\vec{i}_x+n_y\vec{i}_y+n_z\vec{i}_z)$$ $$\vec{T}\centerdot \vec{n}=(T_{xx}n_x+T_{xy}n_y+T_{xz}n_z)\vec{i_x}+(T_{yx}n_x+T_{yy}n_y+T_{yz}n_z)\vec{i_y}+(T_{zx}n_x+T_{zy}n_y+T_{zz}n_z)\vec{i_z}\tag{4}$$ Usted ha estado aprendiendo acerca de la velocidad del tensor gradiente. En términos de diádica tensor de la notación, la velocidad del tensor gradiente se escribe como $$\vec{\nabla} \vec{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}\vec{i}_x\vec{i}_x+\frac{\partial V_y}{\partial x}\vec{i}_x\vec{i}_y+\frac{\partial V_z}{\partial x}\vec{i}_x\vec{i}_z+\frac{\partial V_x}{\partial y}\vec{i}_y\vec{i}_x+\frac{\partial V_y}{\partial y}\vec{i}_y\vec{i}_y+\frac{\partial V_z}{\partial y}\vec{i}_y\vec{i}_z+\frac{\partial V_x}{\partial z}\vec{i}_z\vec{i}_x+\frac{\partial V_y}{\partial z}\vec{i}_z\vec{i}_y+\frac{\partial V_z}{\partial z}\vec{i}_z\vec{i}_z\tag{5}$$

Supongamos que se desea determinar la diferencia en la velocidad del fluido entre dos arbitraria vecinos puntos en el flujo, en (x,y,z) y (x+dx, y+dy, y z+dz). El diferencial del vector de posición entre estos dos puntos es $\vec{ds}=(dx\vec{i}_x+dy\vec{i}_y+dz\vec{i}_z)$. He aquí una tarea problema: Demostrar que, si se pre-dot $\vec{\nabla} \vec{V}$ $\vec{ds}$ obtener $\vec{ds}\centerdot \vec{\nabla} \vec{V}$, el resultado es la diferencia de velocidad entre los dos puntos de $d\vec{V}=(dV_x\vec{i}_x+dV_y\vec{i}_y+dV_z\vec{i}_z)$.

Espero que esto ayude.