¿Es$\mathbb{R}$ equipotent to$\mathbb{R}^2$?

Question

¿Es$\mathbb{R}$ equipotent to$\mathbb{R}^2$? gracias por responder.

Answer 1

Respuesta: si

Sugerencia: Como$\mathbb{R}$ es equipotente a$]0,1[$, solo tiene que demostrar que$]0,1[$ es equipotente a$]0,1[^2$. Ahora puede usar la expansión decimal y el mismo tipo de engaño que usaría para mostrar que$\mathbb{N}$ y$\mathbb{N}^2$ son equipotentes.

Answer 2

Personalmente detesto decimal expansiones. Yo estaría interesado en otras pruebas que la estándar (que se encuentra en Joel respuesta) que evite esto.

(Por cierto, para mostrar que $|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}|$ prefiero el argumento de que $(m,n)\mapsto 2^m3^n$ es inyectiva por el teorema fundamental de la aritmética.)

Por ejemplo, podemos usar eso para un infinito campo de $K$, su clausura algebraica tiene la misma cardinalidad. (Esto se deduce porque $|K^n|=|K|$ y, a continuación,$|K[x]|=|\cup_{n\in\mathbb{N}}K^n|=|\mathbb{N}||K|=|K|$.) Por lo tanto $|\mathbb{R}|=|\mathbb{C}|=|\mathbb{R}^2|$.

Que sabe (edit: no circular) argumento?

Un buen (general) argumento se basa en algún punto elemental-establecer la topología, como se describe en la wikipedia: cualquier compacto de Hausdorff espacio con más de dos puntos, y cuyos únicos no son abiertos, deben ser incontables.