Encontrar el mínimo de $\frac{\left( \sum kx_k \right) \left( \sum x^2_k \right)}{\left( \sum x_k \right)^3}$

Question

Con $n \ge 2$ y $x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n > 0$ . Encuentra el mínimo de: $$ M = \frac{(x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)( x^2_1 + x^2_2 +...+x^2_n)} {\left( x_1 + x_2 +...+ x_n \right)^3}$$

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Para los casos específicos $n$ por ejemplo, $n = 3$ puedo conseguirlo: $\min \{M\} = \frac{2}{27}(10 - \sqrt 2)$

Pero en el problema generalizado anterior, ¿cómo puedo resolverlo? ¿Puedo obtener el resultado utilizando sage o mathematica ?

Answer 1

Esta no es una respuesta independiente, sino un comentario (demasiado largo) en respuesta a las respuestas de
(1) Sergio Parreiras y (2) usuario58697 .
Para que sus respuestas sean completas, MAPLE sigue sin ser estrictamente necesario pero es bastante útil.
Siguiendo los pasos indicados por el usuario58697 se obtiene la siguiente ecuación cuadrática: $$ n^2(n^2-2n+1)a^2 - 4n^2(n-1)a + (4n^2-2n-2) = 0 $$ Las soluciones tienen una forma cerrada simple: $$ a = \frac{4n \pm 2\sqrt{2n+2}}{2(n-1)n} \quad \Longrightarrow \quad \min \{M\} = \\ \min{\left(\frac{(2n-\sqrt{2n+2}+2)(2n+\sqrt{2n+2})}{9n(n-1)}\,,\, \frac{(2n+\sqrt{2n+2}+2)(2n-\sqrt{2n+2})}{9n(n-1)}\right)} $$ Dando, por ejemplo, para $n=3$ : $$ a = 1\pm\frac{\sqrt{8}}{6} $$ Y para los valores de las funciones correspondientes: $$ f(a=1-\sqrt{8}/6) = -\frac{2(-4+\sqrt{2})(+3+\sqrt{2})}{27} \approx 0.8454973007 \\ f(a=1+\sqrt{8}/6) = -\frac{2(+4+\sqrt{2})(-3+\sqrt{2})}{27} = \frac{2}{27}(10-\sqrt{2}) \approx 0.6359841806 $$ Este último resultado está bastante de acuerdo con la solución del PO.

EDITAR. Una mayor simplificación nos lleva a esta expresión final para el mínimo: $$\min\{M\} = \frac{2(n+1)(2n-1)-2\sqrt{2n+2}}{9n(n-1)}$$

Answer 2

El arce no es necesario. Restando FOCs para $i$ y $i+1$ da $\sum x_k^2 + 2(x_i - x_{i+1}) \sum kx_k = 0$ . Como ninguna de las dos sumas depende de $i$ se puede llegar a la conclusión de que $x_i - x_{i+1}$ es una constante, es decir $x$ s forman una progresión aritmética, $x_k = a + bk$ .

Dejemos que $S_m = \sum k^m$ es decir, ( $S_0 = n, S_1 = \frac{n(n-1)}{2}, S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ )

Ahora, $$\sum kx_k = \sum k(a + bx_k) = S_1a + S_2b$$

$$\sum x_k^2 = \sum a^2 + 2abk + b^2k^2 = S_0a^2 + 2S_1ab + S_2b^2$$

Eso es, $$f(x) = (S_1a + S_2b)(na^2+2S_1ab + S_2b^2)$$ Y como $\sum x_k = 1$ , $$S_0a + S_1b = 1$$

Sustituyendo $b = \frac{1 - S_0a}{S_1}$ muestra que $f$ es un polinomio cúbico de $a$ Así que $\frac{df}{da} = 0$ es una ecuación cuadrática.

Answer 3

Dejemos que $$f(\mathbf{x})=\frac{(x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)( x^2_1 + x^2_2 +...+x^2_n)} {\left( x_1 + x_2 +...+ x_n \right)^3}$$ .

1. $f$ es homegético de grado cero: $f(\alpha\mathbf{x})=f(\mathbf{x})$ para todos $\alpha>0$ .
2. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $\sum_{i=1}^n x_i=1$ .
3. $\min\limits_{\mathbf{x}} (x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)( x^2_1 + x^2_2 +...+x^2_n)$ con sujeción a $\sum_{i=1}^n x_i=1$ .
4. Condición de primer orden con respecto a $x_i$ : $i\,(x^2_1 + x^2_2 +...+x^2_n)+2x_i(x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)=\lambda$ . FOC
5. Puede utilizar Mathematica (véase Reducir ) para resolver el sistema de FOC.
6. Pero la probabilidad es mejor para tratar de simplificar los FOCs antes de usar Mathematica: $$\dfrac{i+1}{i}(\lambda-2x_{i+1}((x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)=\lambda-2x_{i}((x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)$$
7. Para $i=N$ no se puede simplificar FOC. No olvide incluir $\sum x_i=1$ también. Necesita $N+1$ ya que también está resolviendo para $\lambda$ .
8. Para $N=4$ , usando el Arce que obtuve:

x[1] = (1/2) RootOf(10 Z^2-20*_Z+9),

x[2] = 1/6+(1/6) RootOf(10 Z^2-20*_Z+9),

x[3] = -(1/6) RootOf(10 _Z^2-20*_Z+9)+1/3

O bien [x[1] = .3418861170, x[2] = .2806287057, x[3] = .2193712943]

por supuesto que x[4] = 1-x[1]-x[2]-x[3]