Pregunta sobre$\mbox{Ext}^1$

Question

Tengo 2 preguntas, una de ellas en relación con la isomorphicity de cociente grupos (anillos), y el otro en las $\mbox{Ext}^1$. Es bastante largo, pero de alguna manera relacionados entre sí. Lo acabo de poner un poco de todo aquí, en lugar de dividirlo en diferentes puestos.

Pregunta 1

Sé que dado $A; B$ subgrupos de un grupo Abelian $G$, entonces si $A \cong B$, entonces esto no es necesariamente cierto que el $R/A \cong R/B$ (puedo encontrar un contra ejemplo de esto). Pero es a la inversa verdad? Como si $R/A \cong R/B$ entonces es cierto que $A \cong B$? Yo creo que es falso, pero no puedo encontrar a un contador, por ejemplo. :(

Y además, ¿cómo puedo encontrar contador ejemplos de arriba 2 declaraciones en el cociente de los anillos? He estado buscando un contador de ejemplo en común de los anillos, como $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}[x]$, pero no hubo suerte.

Pregunta 2

Así que, básicamente, entiendo que, si usted está tratando de probar algo de la línea de $X/X' \cong Y/Y'$, mostrando que el $X\cong X'$, e $Y \cong Y'$ definitivamente no es suficiente. Ok, aquí está mi segunda pregunta.

Dado un ses de $R-$módulos de $0 \to M \xrightarrow{f} P \xrightarrow{g} X \to 0$ donde $P$ es proyectiva, y un $R-$módulo de $Y$.

He aquí una prueba de $\mbox{Ext}^1 (X;Y) \cong \mbox{Hom}(M;Y)/\mbox{Im}(\mbox{Hom}(f;1_Y))$, lo que yo no entiendo realmente.

En primer lugar, la construcción de un proyectiva solución para $M$, yo.e:

$$... \xrightarrow{\delta_2} P_1 \xrightarrow{\delta_1} P_0 \xrightarrow{\delta_0} M \to 0$$

Entonces, podemos conectar a los de arriba les con el ses como dado para llegar a una resolución proyectiva para $X$ como seguir. $$... \xrightarrow{\delta_2} P_1 \xrightarrow{\delta_1} P_0 \xrightarrow{f\delta_0} P \xrightarrow{g} X \to 0$$

Ahora, la caída de la $X$ a obtener los siguientes complejos: $$... \xrightarrow{\delta_2} P_1 \xrightarrow{\delta_1} P_0 \xrightarrow{f\delta_0} P \to 0$$

Se aplican $\mbox{Hom}(-; Y)$ a los de arriba complejo tener otro complejo: $$... \xleftarrow{\mbox{Hom}(\delta_2; 1_Y)} \mbox{Hom}(P_1; Y) \xleftarrow{\mbox{Hom}(\delta_1; 1_Y)} \mbox{Hom}(P_0; Y) \xleftarrow{\mbox{Hom}(f\delta_0; 1_Y)} \mbox{Hom}(P; Y) \leftarrow 0$$

Ahora, por definición, tenemos: $\mbox{Ext}^1(X;Y) = \mbox{ker} \ \mbox{Hom}(\delta_1; 1_Y) / \mbox{im} \ \mbox{Hom}(f \delta_0; 1_Y)$ (*)

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Ahora, vamos a tratar de expresar $\mbox{ker} \ \mbox{Hom}(\delta_1; 1_Y)$ en otros términos.

Desde $P_1 \xrightarrow{\delta_1} P_0 \xrightarrow{\delta_0} M \to 0$ es exacta, se aplican $\mbox{Hom} (-; Y)$ a esta secuencia, una secuencia exacta: $\mbox{Hom}(P_1; Y)\xleftarrow{\mbox{Hom}(\delta_1; 1_Y)} \mbox{Hom}(P_0; Y) \xleftarrow{\mbox{Hom}(\delta_0; 1_Y)} \mbox{Hom}(M; Y) \leftarrow 0$, lo que significa que: $\mbox{ker} \ \mbox{Hom}(\delta_1; 1_Y) = \mbox{im} \ \mbox{Hom}(\delta_0; 1_Y) \cong \mbox{Hom} (M; Y)$ (desde $\mbox{Hom}(\delta_0; 1_Y)$ es inyectiva).

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Y $\mbox{im} \ \mbox{Hom}(f \delta_0; 1_Y) = \mbox{Hom}(\delta_0; 1_Y)\left( \mbox{Hom}(f; 1_Y)(\mbox{Hom}(P; Y))\right) \cong \mbox{Im} \ \mbox{Hom}(f; 1_Y)$ (desde $\mbox{Hom}(\delta_0; 1_Y)$ es inyectiva).

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Y luego, el autor acaba de enchufar todo en (*), tener:

$$\mbox{Ext}^1(X;Y) = \mbox{ker} \ \mbox{Hom}(\delta_1; 1_Y) / \mbox{im} \ \mbox{Hom}(f \delta_0; 1_Y) \cong \mbox{Hom} (M; Y) / \mbox{Im} \ \mbox{Hom}(f; 1_Y)$$

Esta prueba no se ve bien para mí, ya AFAIK no podemos demostrar isormorphicity de cociente de los módulos así. O me estoy perdiendo algo aquí? Si esta prueba no está mal, ¿hay alguna manera de solucionarlo?

Muchas gracias a uds,

Y tener un buen día, :*

Answer 1

P1: Vamos A $G = \mathbb{Z} = A$, $B = 2 \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$. $G/A = 0$ pero $G/B = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (Edit: por Lo que este es un ejemplo de que $A\cong B$ pero $G/A \ncong G/B$, no lo que el OP estaba preguntando acerca de (Gracias @Alex para señalar esto). Voy a dejar esto aquí por referencia, ya que yo creo que es un buen ejemplo a tener en cuenta.)

P2: Aquí es la manera que usted quiere probar esto. Lok en la larga secuencia exacta para $\text{Ext}^1$: una breve secuencia exacta $0 \to M \to P \to X \to 0$ Ext largo de la secuencia exacta (la cohomology largo de la secuencia exacta asociada a la derecha derivados functor $\text{Ext}^*(-,Y)$) es:

$$ 0 \to \text{Hom}(X,Y) \to \text{Hom}(P,Y) \stackrel{f^*}{\to} \text{Hom}(M,Y) \stackrel{\delta}{\to} \text{Ext}^1(X,Y) \to \text{Ext}^1(P,Y) = 0$$

Por lo tanto, por la exactitud, $\text{Ext}^1(X,Y) \cong \text{Hom}(M,Y)/f^*(\text{Hom}(P,Y) )$ como se requiere.

Todas las cosas que en la prueba que siempre se ve un poco como el material utilizado para demostrar que la $\text{Ext}^*(-,Y)$ es un (cohomological) $\delta$-functor.

Answer 2

Un contraejemplo para la pregunta 1: Let$R=\mathbb Z_4\times \mathbb Z_2, A=\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2,B=\mathbb Z_4$. Entonces$R/A\cong \mathbb Z_2\cong R/B$, pero claramente$A\not\cong B$. Esto se cumple con$R,A,B$ considerado como anillos o grupos.