Uno de los problemas con que describe alguna situación en la relatividad general es la elección de un adecuado conjunto de coordenadas. Lejos del agujero negro utilizamos las coordenadas de Schwarzschild $t$ $r$ (ignoraremos las coordenadas angulares). Estos son sólo la distancia radial medida con sus gobernantes y el tiempo medido en su reloj, de modo que tiene una sencilla interpretación. El problema es que al acercarse al horizonte de sucesos el tiempo se dilatada por un factor:
$$ \frac{d\tau}{dt} = 1-\frac{2M}{r} $$
y en el horizonte de sucesos, donde $r = 2M$, este factor tiende a cero. Esto significa que el tiempo se reduce a una parada en el horizonte de sucesos, y es la fuente de la común afirmación de que nada puede cruzar el horizonte de sucesos.
Obviamente vamos a luchar para describir lo que ocurre a la luz de una antorcha en el interior del horizonte de sucesos si se tarda un tiempo infinito para la antorcha para llegar incluso a alcanzar el horizonte de sucesos, y no digamos de la cruz. Así que tenemos que buscar un mejor sistema de coordenadas. Podríamos tratar de usar el sistema de coordenadas de la astronauta que cae en. El problema con esto es que para cualquier caida libre observador el espacio-tiempo es localmente plana, así (haciendo caso omiso de las fuerzas de marea), el astronauta se piensa que es inmóvil en el espacio plano. Cuando se encienda la antorcha de la luz velocidades de descuento en $c$ como de costumbre.
Fuera del horizonte de sucesos, podemos usar el shell de observadores, es decir, los observadores flotando en un fized distancia desde el horizonte. El problema es que en el interior del horizonte de sucesos es imposible que pase a fijo $r$, por lo que no podemos usar el shell de coordenadas.
Entonces, ¿qué hacer? Así, en casos como este tenemos que elegir un conjunto de coordenadas que no corresponden directamente a cualquier cosa vista por un observador. Esto nos permite describir lo que sucede en el interior del horizonte, pero a expensas de la simplicidad. En particular, se hace difícil para que coincida con la descripción con nuestro sentido intuitivo de lo que sucede. Lamentablemente este es un precio que tenemos que pagar.
El mejor de coordenadas a utilizar son el test de Kruskal-Szekeres coordenadas $u$ $v$ porque hacen que la estructura causal inmediatamente obvio. Sin embargo, estos son excesivamente complicados para el no-especialista. La coordenada $u$ es spacelike pero no es simplemente la distancia radial, mientras que la coordenada $v$ es timelike pero no es simplemente el tiempo. Así que no voy a utilizar el KS coordenadas para responder a esta pregunta. Sin embargo, si te sientes valiente echar un vistazo a mis respuestas a Sería el interior de un agujero negro como un gigante espejo? y de Tomar selfies, mientras que la caída, usted será capaz de observar un horizonte antes de golpear una singularidad? donde puedo usar el KS coordenadas para responder a preguntas relacionadas.
En este caso voy a usar el Gullstrand-Painlevé coordenadas. a veces conocida como la lluvia coordenadas o el río de la modelo. En estas coordenadas $r$ es la misma distancia radial como en el de Schwarzschild coordenadas, por lo que es fácil de comprender. Sin embargo, el tiempo de coordinar $t_r$ es el tiempo registrado por un reloj llevado por una caida libre de observador, y a causa de la dilatación del tiempo se mencionó anteriormente, este no es el mismo que el tiempo registrado por el Schwarzschild observador lejos del horizonte de sucesos. Tenga esto en cuenta al considerar lo que sigue.
Ya he utilizado el GP de coordenadas para calcular la velocidad de la luz rumbo hacia o desde el agujero negro en mi respuesta a ¿por Qué es un agujero negro negro?. El resultado es:
$$ \frac{dr}{dt_r} = -\sqrt{\frac{2M}{r}} \pm 1 \tag{1} $$
donde el $+$ da la velocidad de un saliente de rayos y el $-$ da la velocidad de un entrante de rayos. Tenga en cuenta que este utiliza geométrica de las unidades donde $c = 1$. En estas unidades el horizonte de eventos es en $r_s = 2GM$. Si usamos la ecuación (1) para calcular la velocidad de salida de los rayos de luz en el horizonte de evento $r = 2M$ obtenemos:
$$ \frac{dr}{dt_r} = -\sqrt{\frac{2M}{2M}} + 1 = 0 $$
y nos encontramos con que en el horizonte de sucesos de un rayo de luz no brilla, parar y volver a caer. En lugar de eso, su velocidad es cero, por lo que es fijo, inmóvil y no va a ninguna parte. En el interior del horizonte de sucesos, donde $r < 2M $, la velocidad de un saliente ray es negativo. Por lo que en el horizonte siquiera un rayo de luz dirigida hacia fuera en realidad se mueve hacia adentro, no hacia afuera. Este es el resultado clave que necesitamos para responder a la pregunta.
Es cierto que estamos usando un extraño momento de coordenadas, pero el $r$ coordinar es nuestro buen viejo coordenadas de Schwarzschild. Así, mientras que puede puede discutir sobre el valor exacto de la velocidad calculada la señal es inequívoca. Esto significa que cuando nuestro caída de astronauta brilla la antorcha hacia el exterior, la luz no se mueve, viene a parar y retroceder de nuevo. La luz se desplaza hacia el interior desde el momento en que sale de la antorcha. La razón por la que el astronauta ve la luz alejarse es debido a que el astronauta está cayendo hacia el interior, incluso más rápido que la luz.
Un comentario se pregunta si esto significa que el astronauta se mueve más rápido que la luz, y sí lo hace. Sin embargo, esto no debería sorprender como en GR es sólo el local de la velocidad de la luz es constante en $c$. En lugares alejados de la luz puede moverse más rápido o más lento de lo $c$ (a pesar de que nunca vamos a observar que se mueve más rápido, como un horizonte que se interponga en el camino). Por ejemplo, es bien sabido (o debería ser!) que suficientemente las galaxias distantes se están moviendo más rápido que la luz.
Hay un último cabos sueltos que atar. Yo dije anteriormente que el astronauta ve la luz alejarse debido a que el astronauta está cayendo hacia el interior más rápido que la luz. Podemos demostrar esto? Es en realidad bastante fácil de probar si empezamos desde el conocido resultado de que la velocidad de un observador que cae libremente desde el infinito (en coordenadas de Schwarzschild):
$$ \frac{dr}{dt} = -\left( 1 - \frac{2M}{r} \right)\sqrt{\frac{2M}{r}} $$
Para convertir esta a la Gullstrand-Painlevé coordenadas tomamos nota de que la lluvia del tiempo $t_r$ es sólo el momento adecuado $\tau$ a lo largo de la trayectoria de los que se desploma astronauta, y el buen tiempo está relacionado con la coordinación del tiempo por la expresión, me dio el de arriba:
$$ \frac{d\tau}{dt} = 1-\frac{2M}{r} $$
La velocidad del astronauta en el GP de coordenadas es simplemente:
$$ \frac{dr}{dt_r} = \frac{dr}{dt_r}\frac{d\tau}{dt} = = -\frac{\left( 1 - \frac{2M}{r} \right)\sqrt{\frac{2M}{r}}}{1-\frac{2M}{r}} = -\sqrt{\frac{2M}{r}} $$
Compare esto con la ecuación (1) para que la velocidad de la luz, y verás que la velocidad de la luz difiere de la velocidad de la astronauta por $1$. De modo que la luz siempre se está moviendo a una velocidad de $c$ en relación con el astronauta.
