Fórmula integral general

Question

Sé cómo encontrar la integral de abajo, pero me gustaría saber si hay alguna fórmula inteligente o general para la integral, ya que mi método implica una simple división de polinomios...

$\int \frac{1}{1+\sqrt[n]x}dx$

Gracias.

Answer 1

$$\int \frac{1}{1+\sqrt[n]x}dx = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \int x^{\frac{k}{n}}dx= \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac {n\,x^{\frac{k}{n}+1}}{k+n} = nx\Phi(-x^\frac{1}{n},1,n),$$

donde $\Phi(z,s,\alpha)$ es el Función LerchPhi

$$\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s}.$$