¿Cuántas funciones$f:\{1,2,3,4\}→\{1,2,3,4\}$ satisface$f(1)=f(4)$?

Question

Solo necesito una pista o una forma de pensar sobre este problema:$f(1)$ puede ser$1, 2, 3, 4$ y$f(4)$ puede ser$1,2,3,4.$

Answer 1

La cantidad de funciones que satisfacen esta condición es la misma que la cantidad de funciones$f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3,4\}$ porque, dado que$f(4)$ y$f(1)$ son uno y lo mismo, pueden contarse juntas.

Answer 2

Para dar una función entre estos conjuntos, debe proporcionar los datos: para cada número${1,2,3,4}$, proporcione un número en el mismo conjunto para asignarlo.

Esto te da una forma de contar todas las funciones. Ahora, una vez que haya decidido a dónde enviar$1$, tiene 4 opciones para cada uno de$\{2,3,4\}$ para asignarlo. Sin embargo, la imagen de$4$ se decide por la imagen de$1$. ¿Ves cómo proceder?

Answer 3

$f(1)=f(4)$ puede tomar valores de$\{1,2,3,4\}$ que no es distinto y también$f(2)$ y$f(3)$ toma valores de$\{1,2,3,4\}$ que pueden ser distintos .