La ecuación es la parte imaginaria de
$$ \Omega\frac{\partial Z}{\partial t} + 6\lambda\Omega (y^2-y)e^{it} = \frac{\partial^2Z}{\partial y^2} $$
donde $$ Z(y,t) = Y(y)e^{it} $$
Entonces el problema se reduce a la educación a distancia
$$ Y'' - i\Omega Y = 6\lambda\Omega(y^2-y) $$
Este es lineal y no-homogéneo, por lo que podemos aplicar el método de coeficientes indeterminados. Deje $Y = Y_h + Y_p$, homogénea y en particular, soluciones, respectivamente.
Para $Y_h$, el polinomio característico tiene raíces $r = \pm \sqrt{i\Omega} = \pm\sqrt{\frac\Omega2}(1+i) = \pm \alpha$, por lo tanto
$$ Y_h = E\cosh (\alpha y) + F\sinh(\alpha y) $$
Para $Y_p$, tomamos el ansatz $Y_p = By^2 + Cy + D$. Después de la sustitución de
$$ 2B - i\Omega(By^2+Cy+D) = 6\lambda\Omega(y^2-y) $$
Igualando los coeficientes de da $B = -C = 6\lambda i$, $D = 12\lambda\Omega^{-1}$. Por lo tanto su solución general tiene la forma
$$ Y(y) = 6\lambda \left[c_1\cosh(\alpha y) + c_2\sinh(\alpha y) + iy^2 - iy + \frac2\Omega \right] $$
Ahora usted puede utilizar el BC $Y'(0) = Y'(1) = 0$ a determinar el resto de las constantes que se dan en la solución de la
$$ c_1 = -\frac{i(1-\cosh\alpha)}{\alpha\sinh\alpha}, \quad c_2 = \frac{i}{\alpha} $$
