Suponer que $\int_0^1 f dx = 0$. ¿Es cierto que$$\left( \int_0^1 fg dx \right)^2 \leq \left( \int_0^1 g^2 dx - \left( \int_0^1 g dx \right)^2 \right) \left( \int_0^1 f^2 dx \right)$ $? Para el contexto, esto se declaró como una pregunta verdadera o falsa en un examen de calificación anterior. He intentado señalar que$$ \int_0^1 fg dx = \int_0^1 f (g-1) dx$ $ Entonces, emplear Cauchy-Schwarz da$$\left( \int_0^1 f g dx \right)^2 \leq \left( \int_0^1 g^2 dx - 2 \int_0^1 g dx +1 \right) \left( \int_0^1 f^2 dx \right)$ $ Desde aquí, pensé que lo tenía, ya que tenemos ese$-2 \int_0^1 g dx + 1 \geq -\left( \int_0^1 g dx \right)^2$, pero por supuesto la desigualdad es yendo en la dirección incorrecta. Traté de construir algunos contraejemplos, pero todo lo que he probado ha demostrado que la desigualdad es cierta. ¡Cualquier ayuda es apreciada!
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Esto es realmente cierto. Considerar que el trabajo original hecho en la respuesta, y suponer sin pérdida de generalidad que $||g||_2 = ||f||_2 = 1$ (esto denota $L^2$-norma). Entonces, tenemos $$||f g||_1^2 \leq 2 - 2 ||g||_2$$ Considere ahora la transformación $f \mapsto c \cdot f$, $g \mapsto \frac{g}{c}$. Tenga en cuenta que esto deja a la izquierda de todos los idiomas, sin embargo, el lado derecho de cambios como $$||f g ||_1^2 \leq c^2 - 2 c ||g||_2 + 1$$ Para todos los $c$. Ahora, optimizar en $c$; tomando la derivada con respecto al $c$ y la configuración de igual a $0$ rendimientos $$c = ||g||_2$$ Conectar de nuevo, vemos $$||fg||_1^2 \leq ||g||_2^2 - 2 ||g||_2 \cdot ||g||_2 + 1 = 1 - ||g||_2^2$$ Que es, precisamente, la desigualdad a la que queríamos demostrar.
Si probabilística de los argumentos empleados, podemos simplificar los argumentos sin escribir integrales.
Supongamos $X\sim U[0,1]$. Podemos reescribir la dada la desigualdad en términos de valores esperados: $$E[f(X)g(X)]^2 \le var[g(X)]E[f(X)^2].$$ Como @Jason señala, cambiando $g$ por una constante no afecta a la desigualdad (desde $E[f(X)]=0$, lo $E[f(X)(g(X)+k)]=E[f(X)g(X)+kf(X)]=E[f(X)g(X)]$), por lo que el dado desigualdad se cumple si y sólo si $$E[f(X)(g(X)-k)]^2 \le var[g(X)-k]E[f(X)^2].$$ Para aplicar el Cauchy-Schwartz desigualdad, tomamos $k=E[g(X)]$, por lo que el $var[g(X)-k]=E[(g(X)-k)^2]$. Entonces es equivalente a $$E[f(X)(g(X)-E[g(X)])]^2 \le E[(g(X)-E[g(X)])^2]E[f(X)^2].$$
Esta es la de Cauchy-Schwartz desigualdad que vale para cualquiera de las variables aleatorias.
