elemento que no está en el subgrupo

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $H$ un subgrupo de $G$ del índice $k$ es decir $|G| = k* |H|$ . Considere cualquier $g \in G$ \ $H$ (en el conjunto $G$ pero no en $H$ ).

Ahora bien, si $H$ es normal, entonces el grupo cociente $G$ \ $H$ tiene orden $k$ por lo que por Lagrange tenemos que $g^k \in H$ para todos $g \in G$ .

Mi pregunta es, si $H$ no es normal, deberíamos encontrar un $g \in G$ \ $H$ tal que $g^k \notin H$ pero mirando algunos ejemplos particulares no pude encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Probemos el ejemplo más pequeño de subgrupo no normal: $G$ es el grupo simétrico en $\{1,2,3\}$ y $H$ es el subgrupo formado por la identidad y la transposición $(12)$ . Entonces $H$ tiene índice $3$ en $G$ y cualquiera de las otras transposiciones, por ejemplo $g=(13)$ , ha $g^3\notin H$ .

Answer 2

Tratando de conseguir toda una serie de contraejemplos, se me ocurrió lo siguiente, que muestra cómo construirlos.

Propuesta. Dejemos que $H$ sea un subgrupo no trivial del grupo finito $G$ con $n = [G:H]$ . Supongamos que $\gcd(|H|,n)=1$ . Entonces lo siguiente es equivalente.

(a) Para todos los $g \in G$ : $g^n \in H$ .
(b) $H \unlhd G$ .

Prueba (b) $\Rightarrow$ (a) es trivial por el Teorema de Lagrange. Así que demostremos (a) $\Rightarrow$ (b) (Boceto) Vamos a utilizar la inducción sobre $|G|$ . Para iniciar la inducción, argumentamos que $\operatorname{core}_G(H) \neq \{1\}$ . Supongamos que $\operatorname{core}_G(H) =\{1\}$ y elegir $g\in G$ y $h\in H$ . Por la suposición (a) $(g^{-1}hg)^n=g^{-1}h^ng \in H$ Así que $h^n \in H^{g^{-1}}$ . Concluimos que $h^n \in \operatorname{core}_G(H)$ Por lo tanto $h^n=1$ y el orden de $h$ debe dividir $n$ . Pero la orden también divide $|H|$ y como $\gcd(|H|,n)=1$ concluimos que $h=1$ . Pero $h$ era arbitraria, por lo que $H$ debe ser trivial, lo que contradice la suposición.

Si $H$ es normal no hay nada que probar, así que podemos asumir con seguridad que $\operatorname{core}_G(H)$ es un subgrupo propio de $H$ . Ahora escribe $\bar{G}$ para $G/\operatorname{core}_G(H)$ y $\bar {H}$ para $H/\operatorname{core}_G(H)$ entonces $\bar {G}$ y $\bar {H}$ satisfacen todas las condiciones de la proposición. Por inducción obtenemos $\bar {H} \unlhd \bar {G}$ y esto implica $H \unlhd G$ .

Así, de la Proposición se deduce que siempre que se tenga un no normal Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ , la pareja $(G,P)$ constituye un contraejemplo. Véase el ejemplo de Andrea Blass más arriba.