¿Es todo campo de variación una derivada de Lie de la métrica?

Question

$\newcommand{\Vol}{\text{Vol}}$

Sea $(M,g)$ sea una variedad riemanniana lisa, y sea $V \in \Gamma(T^*M \otimes T^*M)$ sea simétrica.

¿Es cierto que $V=L_Xg$ para algún campo vectorial $X \in \Gamma(TM)$ ?

Creo que la respuesta es negativa, pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo.

(Se trata de saber si cada sección es "exacta" en un sentido adecuado).

Edita:

La cuestión global:

En general, la respuesta es no. Para entender mejor la pregunta, separemos los casos:

1. $M$ es compacta. Sea $X \in \Gamma(TM)$ y denotemos por $\phi_t$ su flujo. Defina $g_t=\phi_t^*g$ . Desde $$\Vol(M,\phi_t^*g)=\Vol(M,g)=\text{const},$$

obtenemos diferenciando que $$0=\left.\frac{d}{dt}\Vol(M,\phi_t^*g) \right |_{t=0}= \frac{1}{2}\int_M \langle g,\left.\frac{\partial g}{\partial t}\right |_{t=0}\rangle \Vol_g=\frac{1}{2}\int_M \langle g ,L_x g \rangle \Vol_g.$$

Por lo tanto, un necesario condición para $V \in \{ L_xg \, | \, X \in \Gamma(TM) \}$ es $ \int_M \langle g ,V \rangle \Vol_g=0$ .

¿Es suficiente esta condición?

2. ¿Qué ocurre cuando $M$ ¿es no compacto? ¿Existe alguna condición necesaria?

La cuestión local:

En dimensión $1$ cada campo de variación se realiza de esta manera. En dimensiones superiores supongo que no es así; mi heurística es que hay diferentes números de grados de libertad: Si $\dim M=d$ entonces puntualmente $\dim(T^*M \otimes T^*M)=d^2$ mientras que $\dim(TM)=d$ .

Answer 1

Localmente no lo sé. Globalmente, sin embargo, creo que es falso. He aquí por qué: Considere $M=S^1 = [0,1]/\sim$ . Tomar coordenadas locales $x$ en $[0,1[$ . Considere $g= \mathrm dx \otimes \mathrm dx$ y $V=\mathrm dx\otimes \mathrm dx$ . Ahora, $X\in \mathfrak{X}(M)$ puede verse como $X=f\partial_x$ donde $f(0)=f(1)$ (porque $0\sim 1$ en $S^1$ ). Ahora, $$ \mathcal L_X (g) = \mathcal{L}_X(\mathrm dx \otimes \mathrm dx) \\ = (\mathcal{L}_X \mathrm dx)\otimes \mathrm dx + \mathrm dx \otimes (\mathcal{L}_X \mathrm dx) \\ = 2\partial_x f \mathrm dx $$ Ahora queremos $\mathcal L_X (g) = V$ . Es decir $2\partial_x f = 1$ . Así obtenemos $f = x/2 + C$ . Esta función no vive en $S^1$ .

Respuesta : No puede encontrar $X$ en el caso global.

Ahora, en el caso local : en dimensión 1 sí (es fácil de calcular y resolver). En dimensión superior no lo sé.

Answer 2

Esta respuesta aborda la cuestión local. Tu suposición es correcta; una variación general de la métrica no puede realizarse como la derivada de Lie respecto a un campo vectorial. Esto tiene sentido ya que todas las métricas $\phi_t^*g$ son iguales en cierto modo, donde $\phi_t$ es el flujo de un campo vectorial $X$ . "En cierto modo" significa aquí que difieren entre sí por un difeomorfismo.

Por ejemplo $M=\mathbb{R}^n$ y que $g$ sea la métrica estándar. Sea $X=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ sea un campo vectorial. Utilizando la fórmula de Cartan, para cada $1\leq i\leq n$ tenemos $$\mathcal{L}_Xdx^i=di_Xdx^i=dX^i=\frac{\partial X^i}{\partial x^j}dx^j.$$ A continuación, tenemos $$\mathcal{L}_Xdx^i\otimes dx^i=\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\left(dx^i\otimes dx^j+dx^j\otimes dx^i\right),$$ que en última instancia da como resultado $$\mathcal{L}_Xg=\sum_{i,j}\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\left(dx^i\otimes dx^j+dx^j\otimes dx^i\right).$$ Ahora, la única restricción que tenemos sobre la matriz $$A_{ij}:=\frac{\partial X^i}{\partial x^j}$$ es que sus filas son "cerradas", en el sentido de que para cada $i,j,k$ tenemos $$\frac{\partial A_{ij}}{\partial x^k}=\frac{\partial A_{ik}}{\partial x^j}.$$ Esto significa que, pensando en las variaciones de la métrica como mapas de $\mathbb{R}^n$ al espacio de matrices simétricas, las variaciones que se pueden obtener de esta forma son $$\left\{\left.A+A^T\right|A\mathrm{\;has\;closed\;rows}\right\},$$ donde "filas cerradas" debe entenderse como arriba. Como verifica una simple comprobación, el conjunto anterior es estrictamente menor que el conjunto de todas las variaciones, incluso cuando $n=2$ .