Representaciones de grupos finitos sobre diferentes campos algebraicamente cerrados

Question

Deje$G$ ser un grupo finito,$K_1,K_2$ son dos campos algebraicamente cerrados y$(\text{char}K_i,|G|)=1$. ¿Cuál es la relación entre las representaciones irreducibles sobre$K_i$? ($i=1,2$)

El número de representaciones irreducibles es el mismo ($=$ número de clases de conjugación de$G$). ¿Existe una biyección entre representaciones irreducibles sobre$K_i$ que conserva dimesnion y es functorial respecto a$G$? Mientras tanto, ¿podemos poner otras restricciones para que tal biyección sea única?

Answer 1

Deje $R=\mathbb{Z}[\frac{1}{|G|},\mu_m]$ donde $m=\exp G$ es el exponente de $G$ $\mu_m$ es el conjunto de las $m$th raíces de la unidad. El idempotents en el grupo de álgebra $\mathbb{C}[G]$ (correspondiente a las proyecciones en isotypical componentes, y son los elementos de identidad de los sumandos en el Artin-descomposición de Wedderburn) son en realidad elementos de $R[G]$, ya que se les da por $e_{\small V}=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{\small V}(g^{-1})g$.

A través de la fijación (a) cociente de mapas de $R\to K_1$ $R\to K_2$ tenemos correspondiente idempotents en el grupo de álgebras de $K_1[G]$ $K_2[G]$ correspondiente a las irreps sobre los campos. Esto induce a un bijection (que debe ser functorial en algún sentido?) pero depende de la elección original de cociente mapas de $R$ que todos están relacionados por automorfismos de a$K_1$$K_2$.