Resumen de temas de topología algebraica avanzada

Question

Recientemente me ha intrigado mucho la topología algebraica y estoy dedicando bastante tiempo a aprenderla. Mis razones son tres:

• es una hermosa teoría;
• da una justificación geométrica a (o quizás más bien una aplicación de) muchas estructuras puramente algebraicas; y
• tiene aplicaciones fascinantes en la teoría del campo cuántico y la teoría de la materia condensada.

Sin embargo, lo que conozco actualmente es sólo lo básico: varias teorías de homología y cohomología, teoría de la homotopía y algunas aplicaciones estándar (Brouwer, Borsuk-Ulam, etc., etc.). Aunque por supuesto son interesantes de por sí (y espero dedicar una gran cantidad de tiempo a entender todo esto adecuadamente), supongo que se entiende más o menos desde hace unos cincuenta años, así que supuestamente la gente trabaja en temas mucho más avanzados que esto (o al menos utilizan herramientas mucho más avanzadas para entender problemas estándar pero difíciles).

Así que también me gustaría saber de qué trata el campo desde la perspectiva moderna (algunos problemas y temas de investigación interesantes, herramientas avanzadas, etc.) para poder ver un poco a dónde me llevará el estudio del tema a largo plazo.

Lo siento si la pregunta es demasiado amplia, pero no estoy seguro de dónde más buscar (he navegado más o menos a través de todos los artículos generales sobre AT en la wikipedia y trató de buscar MO también). He oído algunas palabras mágicas como teoría K, cohomología de gavillas, varias secuencias espectrales, etc., pero todavía no las entiendo en absoluto; lo que es más, me falta motivación para aprender estas cosas, ya que no tengo ni idea de cómo o cuándo se utilizan estas palabras mágicas (aunque estoy bastante seguro de que se utilizan mucho).

Answer 1

Si desea una perspectiva más moderna de la topología algebraica, el libro de Peter May "Un curso conciso de topología algebraica" plantea muchas cosas en términos de secuencias de fibras/cofibras, adopta un enfoque axiomático de la (co)homología y discute los fundamentos de algunos temas más avanzados como la teoría K. Ha escrito una secuela con Kate Ponto, "Topología algebraica más concisa: Localización, terminación y categorías de modelos" aunque todavía no se ha publicado. Abarca temas adicionales como las localizaciones, las categorías de modelos y las secuencias espectrales.

Otro buen libro de texto introductorio podría ser el de Tom Dieck, aunque no estoy muy familiarizado con él.

Si quiere aprender más sobre las secuencias espectrales y sus aplicaciones (sobre todo a la topología algebraica), debería consultar el libro de McCleary "Guía de usuario de las secuencias espectrales" .

Otra cosa que te puede interesar son los espectros y la categoría estable, aunque no conozco una buena referencia. Algo como el documento/libro de EKMM probablemente no sea una buena introducción al tema. Estoy seguro de que alguien en MO tendrá una opinión si quieres aprender el material.

Hay un montón de libros sobre temas como la teoría K, y no tengo ninguna recomendación.

Las clases de carácter son maravillosas, y si quieres más de lo que incluyen May o Tom Dieck, el libro de Milnor y Stasheff es un clásico.

Al final del conciso curso de May, tiene una lista de libros para seguir leyendo. Aunque la lista es de hace unos años, puede ser un punto de partida útil si no es lo que buscas.

Answer 2

De ninguna manera hablo en nombre de los topólogos algebraicos, sino como topólogo geométrico que desea formular los problemas en alguna forma de álgebra.

(1) Una tendencia reciente en la topología de baja dimensión ha sido traducir las manipulaciones diagramáticas en ecuaciones algebraicas. La conversión de la relación de trenza $s_1s_2s_1=s_2s_1s_2$ en la relación Yang-baxtger es un ejemplo. En términos más generales, la categoría de los nudos es una categoría monoidal trenzada. Se pueden encontrar invariantes de los nudos encontrando funtores a otras categorías monoidales trenzadas.

En una ruta tortuosa, desde Jones, pasando por el bracket, hasta Khovanov, pasando por los preescalones, Turner ha relacionado los invariantes de los nudos con los invariantes derivados de la homotopía estable. Su idea ilustra muchas tendencias en la aplicación de la topología algebraica a cuestiones de baja dimensión.

(2) De nuevo, en el ámbito de la baja dimensión, consideraría muy importantes los problemas relacionados con el cálculo de la homología del cuandle. Pero el deseo de dicho cálculo es bastante personal. La homología del cuandle está íntimamente relacionada con el anudamiento. Los trabajos más recientes al respecto, realizados por Clauwens e independientemente por Nosaka, representan un gran uso de la maquinaria existente para estudiar problemas geométricos. Ambos trabajos se basan en gran medida en las ideas innovadoras de Fenn, Rourke y Sanderson. Todavía las técnicas algebraicas como las secuencias espectrales y/o las resoluciones proyectivas están lejos de ser utilizadas de manera uniforme.

(3) Para ampliar el punto (1) un poco más, creo que hay mucho que hacer en la comprensión e interpretación de las descripciones diagramáticas de nudos, colectores, incrustaciones e inmersiones. En particular, la idea de convertir las equivalencias diagramáticas en álgebra es extremadamente fructífera. Por otro lado, las ideas de categorización desde el punto de vista del trabajo de Khovanov conducen al álgebra diagramática. Esta nueva álgebra no es la topología algebraica tal como se practicaba en el siglo XX, sino un nuevo tipo de geometría algebraica. Sin embargo, se basará en las construcciones de los espacios de bucles, los espacios clasificatorios, las suspensiones y las fibraciones.

Answer 3

El libro que me parece que se adaptaría mejor a sus necesidades es el de Switzer Topología algebraica - Homología y Homotopía que da una motivación muy bonita, y lleva hasta el estado de la técnica de los años 70 (cobordismos, álgebra de Steenrod,...)

Entonces, el siguiente libro que miraría recomendaría sería el de Rudyak Sobre los espectros Thom, la orientabilidad y el cobordismo . A pesar de su temible título, este libro me parece un muy buen volumen 2 de Switzer, explicando claramente cosas básicas como la relación entre homología y cobordismo en bajas dimensiones, que uno no encuentra en otros libros de texto. Dado que la TQFT es un functor de una categoría de bordismo, y especialmente a la luz de los trabajos de ETQFT como el de Hopkins-Lurie, que es fuertemente algebraico-topológico, mi opinión es que estos dos libros proporcionan una línea de abeja la primera línea de lo que podría en el futuro estar interesado.

Answer 4

Este es un comentario extendido inspirado en la excelente respuesta de Aaron.

En primer lugar, en lo que respecta a los modelos de espectros, le recomendaría que consultara los artículos de John Greenlees sobre el tema. Escribió un artículo para una escuela de verano que me resultó muy útil.

Hay algo llamado el seminario Kan en el MIT, tienen en él una lista de lectura de artículos, podrías empezar por ahí también. Eligen artículos "fáciles" de leer que hacen presentar a los estudiantes.

Gran parte de la topología algebraica temprana estaba interesada en comprender diferentes objetos geométricos a través de sus invariantes. Ahora el mejor invariante es la homotopía, pero ni siquiera podemos calcularla en el ejemplo más sencillo $S^n$ . Este es uno de los mayores problemas, y mucha gente brillante está trabajando en ello.

La teoría K es otra teoría de cohomología que está muy bien, te puede decir mucho sobre la geometría del espacio que te interesa. Los elementos de $K^0(X)$ son haces vectoriales virtuales, por lo que cada haz real te da algún elemento de la teoría K. Así es como la geometría comienza a aparecer.

La cohomología de la gavilla es algo que desconozco. Es de un sabor un poco diferente a la cohomología con la que podría estar familiarizado, mantiene un montón de información local. Hay un montón de otras preguntas por ahí donde la gente ha estado preguntando acerca de ellos.

Las secuencias espectrales son herramientas para calcular cosas. Para calcular cosas realmente difíciles, por lo general. Son sobre todo una herramienta para obtener información difícil de alcanzar.

Me parece que la teoría K podría ser algo que le interesaría más dada su formación. Sin embargo, no se puede superar la lista de referencias de May, y el libro es gratuito.