¿Es una función continua$ f\colon(0,\infty)\to R$, tal que$f(x)\leq f(nx)$ aumenta?

Question

Mi pregunta está relacionada con: LeL $f: (0, \infty)\to R$ ser continua y $f(x)\leq f(nx)$ probar $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)$ existe y $f\colon(0,\infty)\to \mathbb R$ ser continuo; $f(x)\le f(nx) , \forall n \in \mathbb N , \forall x >0$, $\lim_{x\to \infty} f(x)$ existe?

Deje $f\colon (0, \infty)\to R$ ser continuo, de manera que $f(x)\leq f(nx)$ para todos los positivos $x$ natural y $n$.

Se comprobó que el límite (finito o infinito) en el infinito existe. No sabemos si tal función debe ser (débilmente) el aumento? Creo que hay contraejemplos.

Answer 1

Let \begin{equation} f(x)= \begin{cases} x \quad &\text{if} \quad x\leq 1\\ 2-x \quad &\text{if} \quad 1\leq x \leq 4/3\\ x- 2/3 \quad &\text{if} \quad x\geq 4/3 \end {cases} \ end {equation}

En$[1,4/3]$,$f(x)$ tiene mínimo$2/3$, y en$[1/2,2/3]$, tiene$2/3$% máximo. Por lo tanto, satisface la condición.
Otras regiones también satisfacen la condición. También es continuo.

Answer 2

Puede tomar$f(x)$ tal que:$f(x)=10^x$ para$x \in [0,10]$

$f(x)=10^{10}-(x-10)^{100}$ para $x\in [10,11]$

$f(x)=10^{10}-1+10^{10}\times (x-11)$ para $x>11$

Answer 3

Pensé en esto y la respuesta es no , voy a editar mi respuesta en la otra pregunta, gracias por informarme de mi error. La función:

Definiremos$[x]=x-\lfloor x\rfloor$ $$ f (x) = \begin{cases}x&\text{if}&[x]=0\\ f(\lfloor x\rfloor)-2[x]&\text{if}&[x]\in(0,0.5)\\ f(\lfloor x\rfloor)+2[x]&\text{if}&[x]\in[0.5,1)\end {cases} $$