¿Siempre hay al menos un primo en estos intervalos cerrados?

Question

Sé que es sabido que para cada entero $n>1$ siempre hay un primer $p$ tal que $n<p<2n$ (Bertrands postulado).

También, supongo que todavía no se sabe si hay al menos un primer entre el$n^2$$(n+1)^2$, para cada entero positivo $n$ (Legendres conjetura).

Lo que acerca de esto:

Hay siempre al menos uno de los primos en el intervalo cerrado $[2^n,2^n+n]$ para cada entero positivo $n$?

Acabo de comprobar para el primer par de $n$ por el corazón y no encontró ningún contraejemplo aunque a veces los números primos están en los extremos de estos intervalos cerrados. Tal vez el primer contraejemplo, si existe, no está muy lejos, pero alguien espero que lo compruebe.

Answer 1

El primer contraejemplo:

Por $n = 13$, $2^n = 8192, 2^n + n = 8205$.

No existe ninguna prima en$[8192,8205]$, aunque$8191$ es una primo.

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El segundo contraejemplo:

Por $n =14, 2^n = 16384, 2^n + n = 16398$.

No existe ninguna prima en$[16384,16398]$.

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Marcado con esta lista .

Answer 2

Wikipedia hace referencia a un teoremas que poner un límite inferior en el tamaño de las brechas que se puede esperar. Para cualquier constante positiva $C$, existe una infinidad de números enteros $n$ de manera tal que el intervalo de

$$ (n, n + C \log n) $$

no contiene ninguno de los números primos.

Usted está preguntando acerca de las brechas de tamaño $\log_2 n$; en consecuencia, su conjetura se puede resumir como

Las potencias de 2 son muy raras; tal vez tenemos suerte y que nunca de la tierra cerca del comienzo de una amplia brecha?

Aún así, uno podría preguntarse si su conjetura es plausible. De forma heurística, suponiendo que los números primos son distribuidos al azar", las probabilidades de que un intervalo de $(n, n + \log_2 n)$ no contiene un prime es aproximadamente

$$ \left( 1 - \frac{1}{\log n} \right)^{\log_2 n } \approx \exp\left(-\frac{1}{\log 2} \right) \approx 0.2363$$

como $n$ crece grande. En consecuencia, cabría esperar aproximadamente una de cada cuatro valores de $n$ a servir de contraejemplo.

Incluso si usted modificar su conjetura para dar cuenta de un número finito de contraejemplos, es inverosímil sin algún fundamento lo que sugiere que existe una causal razón los intervalos que hemos elegido debe ser especial en algo de moda.