implica de $M^2=I_n$ $M$ diagonalizable

Question

Que $M$ ser una matriz de $n \times n$ tal que $M^{2}=I_n$; ¿Esto implica que el $M$ es similar a una matriz diagonal $D$? ¿Cómo podemos demostrar esto?

Answer 1

Sugerencia: demostrar que los subespacios propios $\mathbf E(1)$y $\mathbf E(-1)$ span $\Bbb R^n$.

Answer 2

Si $v\in F^n$ (donde $F$ es el campo que está trabajando con), then$$v=\frac12(v+M.v)+\frac12(v-M.v).$$Since $M^2=\operatorname{Id}$, this expresses $v$ as the sum of a vector $v_1$ such that $M.v_1=v_1$ with a vector $v_{-1}$ such that $M.v_{-1}=-v_{-1}$. So, every vector is sum of eigenvectors and therefore $M$ es diagonalizable.

Answer 3

Sí es diagonalisable. Que $W_1$ ser el espacio de valores propios generalizado $1$, que es vectores tales que $(M-I)^nv=0$ $n$. Ahora tenga en cuenta que $(M+I)W_1=W_1$ ya que de lo contrario hay un elemento de valor propio $W_1$ $-1$. Esto implica que %#% $ #% esta todo generalizado autovectores son autovectores reales. Esto implica que las multiplicidades algebraicas y geométricas son los mismos. Por lo tanto es diagonalizable.

Answer 4

Teorema:

Que $T$ sea un operador lineal en el espacio finito-dimensional del vector $V$. $T$ es diagonalizable polinomio mínimo FIB es el % de forma $g(t)=\prod_{k=1}^{n}(t-\lambda_k), \lambda_j \ne\lambda_k$para cualquier índice de barrio.

Solución al problema

Dado que el $M^2=I.$ % Let $g(t)=t^2-1$. Sabemos que $g(M)=0$. Por lo tanto, es el polinomio mínimo. $g(t)=(t-1)(t+1)$. Por lo tanto, $M$ es diagonalizable.