Express $f_n(x)=\cos{(n\arccos{x})}$ como un polinomio.

Question

Hace unos días tuve un problema interesante en un examen de cálculo elemental. Dice así:

Demuestre que para $n\geq 2,$ la función $f_n(x)=\cos{(n\arccos{x})}, \ x\in[-1,1]$ es un polinomio de grado $n$ y determinar el coeficiente de $x^n$ .

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No fui capaz de trabajar este problema y después del examen lo busqué en internet y parece que está relacionado con los polinomios de Chebyshev. Pero nunca hemos tratado este tipo de polinomios en este curso. ¿Hay otras formas de hacer esto?

Lo que intenté hacer en el examen fue calcular $f_n(x)$ para $n=1,2...$ y ver si puedo encontrar un patrón y formular una hipótesis de inducción y luego probarla. Tengo que

$$f_1(x)=\cos{(1\cdot \arccos{x})}=x,\\f_2(x)=\cos{(2\cdot \arccos{x})}=1-2\cos^2{(\arccos{x})}=1-2x^2\\ f_3(x)=\cos{(3\cdot \arccos{x})}=4\cos^3{(\arccos{x})}-3\cos{(\arccos{x})}=4x^3-3x$$

Como se puede ver rápidamente se pone feo y no se ve ningún patrón. Así que, para formular una hipótesis para los números pares $n=2k$ no era difícil, pero para los números de impar, $n=2k+1$ no pude hacerlo.

¿Es un buen comienzo o está totalmente equivocado? ¿Funcionaría este método si fuera un poco mejor en matemáticas? ¿algún otro consejo/truco que sólo utilice el cálculo elemental? No se nos permite usar expansiones en este curso.

Answer 1

HINT

$$\cos{n\theta}=\cos^n{\theta}- \binom {n} {2}\cos^{n-2} \theta \cdot \sin^2 \theta+ \binom {n} {4}\cos^{n-4} \theta \cdot \sin^{4} \theta -\cdots$$

NOTA

La relación se obtiene mediante el teorema del binomio y la igualdad de Euler:

• $\ \cos \theta +i \sin \theta = e^{i \theta}$
• $\ (e^{i\theta})^n = (\cos\theta+i\sin\theta)^n$
• $\ (e^{i\theta})^n = e^{i(n\theta)} = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) = (\cos\theta+i\sin\theta)^n $

Answer 2

Los polinomios se pueden calcular de forma recursiva: set $\:T_n(x)=\cos(n\arccos x)$ y partir de la identidad trigonométrica: $$\cos(a-b)+\cos(a+b)=2\cos a\cos b.$$ Se especializa como $$\cos(n-1)t+\cos(n+1)t=2\cos t\cos nt.$$ Configurar $t=\arccos x$ se puede leer la fórmula anterior como $$T_{n+1}(x)=2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x).$$

Answer 3

Sustituyendo $t=\arccos(x)$ tenemos:

$\begin{equation}\int f_n(x)=\end{equation}$

$\begin{equation}=-\int (\sin(t)\cdot \cos(nt))=\end{equation}$

$\begin{equation}=-\frac{1}{2}\int(\sin((n+1)t)+\sin((1-n)t)=\end{equation}$

$\begin{equation}=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos((n+1)\arccos(x))}{n+1}-\frac{\cos(\arccos((n-1)x))}{n-1}\right)=\end{equation}$

$\begin{equation}=\frac{1}{2}\left(\frac{f_{n+1}}{n+1}-\frac{f_{n-1}}{n-1}\right)\end{equation}$

(al pasar de la segunda a la tercera ecuación hemos utilizado el prostaféresis )

Ahora, igualando los coeficientes de $x^{n+1}$ en el LHS y RHS, obtenemos:

$\begin{equation}2 c_n=c_{n+1}\end{equation}$

$\begin{equation}c_1=1\end{equation}$

$\begin{equation}c_{n}=2^n\end{equation}$

(No coincide con tu cálculo ya que cambiaste los signos en f_2) Para que sepas, el patrón que buscabas no es tan "bonito". Lo es:

$\begin{equation} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k}\end{equation}$

Answer 4

Una pista:

Con la doble diferenciación de $f_n(\cos x)=\cos nx$ obtenemos $$f''_n(\cos x)\sin^2x=(\cos x-n^2)\cos nx$$ entonces con $\cos x=u$ resolver DE $$(1-u^2)y''=(u-n^2)y$$ con expansión en serie $\displaystyle y=\sum_{n\geq0}a_nu^n$ donde $f_n(u)=y$ .

Answer 5

Dejemos que $t=\arccos x.$ Entonces $\sin t = \sqrt{1-x^2}/x$ y $\sin 2t = 2\sqrt{1-x^2}.$

Podemos demostrar por inducción que $\sin nt = \mbox{poly}\times \sqrt{1-x^2}$ y $\cos nt =$ poli para cada $n$ . Los (cuatro) pasos de la base están arriba. Supongamos que ambas identidades son verdaderas para $n$ . Entonces

$$\sin (n+2)t = \sin nt \cos 2t + \sin 2t \cos nt $$ $$ = \mbox{(poly)}\sqrt{1-x^2}(2\cos t-1) +\sqrt{x^2-1}\mbox{(poly)} $$ $$= \mbox{(poly)}\sqrt{1-x^2}.$$

Y luego

$$\cos (n+2)t = \cos nt\cos 2t - \sin nt \sin 2t$$ $$=\mbox{(poly)}(2\cos t-1) - \left(\mbox{(poly)}\sqrt{1-x^2}\right)\sqrt{1-x^2} $$ $$= \mbox{(poly)}(2x^2-1) - \mbox{(poly)}(1-x^2) = \mbox{(poly)}.$$