Cómo la suma de esta serie infinita

Question

Cómo la suma de esta serie:

$$\frac{1}{1}+\frac{1}{11}+\frac{1}{111}+\frac{1}{1111}+\cdots$$

Mi intento:

Multiplicar y dividir la serie por $9$

$$9\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{99}+\frac{1}{999}+\frac{1}{9999}+\cdots\right)$$

$$9\left(\frac{1}{10-1}+\frac{1}{10^2-1}+\frac{1}{10^3-1}+\frac{1}{10^4-1}+\cdots\right)$$

Ahora vamos a $a_N$ denotar el número de divisores de a $N$, después de la simplificación de la serie se convierte en:

$$9\left(1+\sum{\frac{a_N}{10^N}}\right)$$

Esto es donde estoy atascado...

PS: por Favor rectificar mis errores a lo largo de la manera

Answer 1

Su enfoque es muy bonito, pero, como se ha señalado por Pranav Arora, por la suma de hasta el término de $n$, CAS conduce a $$S =9 \left(\frac{\psi _{\frac{1}{10}}^{(0)}(n+1)}{\log (10)}-\frac{\psi _{\frac{1}{10}}^{(0)}(1)}{\log (10)}\right)$$ and for the infinite summation, it becomes $$S=\frac{9 \left(\log \left(\frac{10}{9}\right)-\psi _{\frac{1}{10}}^{(0)}(1)\right)}{\log (10)} \simeq 1.100918190836200736379855$$