Que % de números complejos $\alpha$y $\beta$ ¿es cierto que $\alpha^n+\beta^n$ es siempre un entero?

Question

Posiblemente una muy simple pregunta, pero:

Pregunta. Para que los números complejos $\alpha$ $\beta$ es cierto que $\alpha^n+\beta^n$ es siempre un número entero para todos los $n=1,2,3\ldots$?

Por ejemplo, $$\alpha = \frac{1+i\sqrt{7}}{2}, \beta = \frac{1-i\sqrt{7}}{2}$$ esta relación.

Un par de observaciones. En primer lugar, una manera de encontrar ese $\alpha$ $\beta$ parejas muestran en Silverman del libro "La Aritmética de Curvas Elípticas." En particular:

En segundo lugar, algo similar parece ocurrir en relación con los números de Fibonacci. Siguiendo esta línea de pensamiento, tal vez una mejor pregunta sería: para que los números complejos $\alpha$ $\beta$ ¿existe un complejo número de $k$ tal que $$\frac{\alpha^n+\beta^n}{k}$$ es siempre un número entero?

Answer 1

Esto es cierto si $\alpha$ $\beta$ son conjugado cuadrática enteros debido a $\alpha^n+\beta^n$ es una función simétrica de $\alpha$$\beta$, por lo que es un número entero expresión polinómica en $\alpha+\beta$$\alpha\beta$.

Por el contrario, si $\alpha+\beta$ $\alpha^2+\beta^2$ son enteros, por lo que es $2\alpha\beta$. Por lo tanto, $\alpha$ $\beta$ son raíces de un polinomio $x^2+ax+\frac{b}{2}$$a,b\in\mathbb Z$, y así son definitivamente conjugado cuadrática números, aunque tal vez no necesariamente cuadrática enteros.

Ahora, por el mismo argumento, $\alpha^2+\beta^2$ $\alpha^4+\beta^4$ son enteros implica $2\alpha^2\beta^2$ es un número entero, es decir, $2(\frac{b}{2})^2=\frac{b^2}{2}$ es un número entero. Por lo tanto, $b$ es incluso.

Línea de base: $\alpha^n+\beta^n$ es un número entero para todos los $n$ fib $\alpha$ $\beta$ son conjugado cuadrática enteros.