¿Por qué aparece dos veces en los axiomas de QM $\hbar$?

Question

Las teorías físicas han dimensionful constantes. Cada constante que puede ser encontrado a través de la medición, mediante el ajuste de algunos ecuación a los datos. Matemáticamente, es de esperar que cada constante a ser "definido" en este camino exactamente en una ecuación. Por ejemplo, la constante gravitacional $G$ es introducido en exactamente una ecuación de GR, es decir, en su presencia en el Einstein del campo de la ecuación. (Podría decirse que esto es más que una ecuación, pero vamos a dejar que pase, estas ecuaciones son atados juntos por la restricción general de la covarianza).

En la mecánica cuántica, sin embargo, $\hbar$ aparece dos veces en dos contextos muy diferentes. La primera es la ecuación de Schrodinger

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi\rangle = \hat H |\Psi\rangle$$

y la segunda es, en la canónica de conmutación relación

$$[\hat x, \hat p] = i \hbar. $$

¿Hay alguna razón por la que estos dos $\hbar$'s debe ser el mismo, moralmente hablando? Obviamente, preguntando "por qué" acerca de preguntas como esto es subjetivo, pero todavía estoy curioso por saber si alguien tiene buenas respuestas.

Answer 1

Ellos son realmente el mismo $\hbar$, y vienen desde el mismo lugar exacto. Para ver esto, es mejor trabajar en la imagen de Heisenberg, donde la ecuación de Schrödinger se convierte en $$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{i \hbar} [A(t), H]$$ para cualquier cantidad $A(t)$. Ahora compara esto a la ecuación de movimiento en el Hamiltoniano formalismo de la mecánica clásica, $$\frac{df}{dt} = \{f, H\}.$$ Del mismo modo, la canónica de los corchetes de Poisson y canónicos los conmutadores son $$\{x, p\} = 1, \quad [x, p] = i \hbar.$$ Por lo tanto la regla general que se le da a ambas ecuaciones es que una ecuación clásica se convirtió en un quantum uno reemplazando el corchete de Poisson $\{\cdot, \cdot\}$ $1/i\hbar$ veces un colector $[\cdot, \cdot]$.

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Otra manera de ver esto es que la mecánica cuántica especifica fundamental de la escala de acción, y que puede ser considerado como una energía tiempos de un tiempo (en la ecuación de Schrödinger) o una longitud veces un impulso (en el canónica del conmutador). Sin embargo, se trata de una buena pregunta de si los diferentes tipos de partículas pueden tener diferentes valores de $\hbar$. Le pregunté a una pregunta acerca de eso aquí.

Answer 2

Esta pregunta se reduce a dos preguntas: (1) por qué hacen las relaciones de Planck-Einstein para la energía $E$y frecuencia $\omega$, así como el impulso $\vec p$y wavevector $\vec k$ de un fotón con la $\hbar$: $$E=\hbar \omega$$ $$ \vec p=\hbar \vec k$$ and (2) why do these relations also hold for energy and momentum of a free particle (the de Broglie relation). For the photon, the fact that the second equation has the same $ \hbar$ as the first equation follows directly from Maxwell's equations (Poynting's theorem). It has also been experimentally confirmed (e.g. Compton effect). For a general free particle, the second equation is the de Broglie relation for the matter wave of a free particle. That this also has the same $\hbar$, como se supone por de Broglie, ha sido confirmado experimentalmente, por ejemplo, por los experimentos de Davisson-Germer electrón onda difracción.