Principio del casillero - rueda de la ruleta

Question

Pregunta - la rueda de la Ruleta está dividida en 36 sectores. Cada sector se le asigna un número aleatorio de 1 a 36. Muestran que hay tres sectores consecutivos tales que la suma de sus números asignados es de al menos 56.

Mi enfoque -> (Prueba por Contradicción)

Deje $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ser los números asignados a los días 1, 2, ..., n sectores, respectivamente. Supongamos que la suma de los tres consecutivos sectores es menos que 56.

Por lo tanto,

$$ a_1 + a_2 + a_3 < 56 \\ a_2 + a_3 + a_4 < 56 \\ \vdots \\ a_{36} + a_1 + a_2 < 56 $$ La adición de todos ellos, $$ \Longrightarrow 3(a_1 + a_2 + \ldots + a_{36}) < 56 \cdot 36 \\ \Longrightarrow 3 \frac{36 \cdot 37}{2} < 56 \cdot 36 \\ \Longrightarrow 111 < 112 $$ (lo cual es cierto y, por lo tanto, no puede demostrar por contradicción)

A donde voy mal?

Answer 1

Que estábamos en el camino correcto. Es correcto que si la declaración de

Hay tres sectores consecutivos tales que la suma de sus números asignados es de al menos 56.

no se sostiene, a continuación, $$ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} < 56 $$ para $i = 1, 2, 3, \ldots$. Sin embargo, esta estimación no es lo suficientemente fuerte como para obtener una contradicción. Desde todos los $a_i$ son números enteros que hemos hecho en la mejor estimación $$ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} \le 55 $$ para todos los $i$. La adición de estas desigualdades ahora se da una contradicción, como se desee: $$ 3 \frac{36 \cdot 37}{2} \le 55 \cdot 36 \Longrightarrow 1998 \le 1980 \, . $$

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Comentario: en Realidad no debe ser de tres sectores consecutivos en el Rueda de la ruleta cuyo número se suma al menos 57, ver

A066385 Más pequeño máximo de la suma de los 3 períodos consecutivos en cualquier arreglo [1..n] en un círculo.

en el On-Line de la Enciclopedia de Secuencias de Enteros para la general pregunta y obtener más información. En particular, es el que aparece en la $a(36) = 57$.

Answer 2

Puesto que el valor promedio de $a_i=18.5$ el valor promedio de la suma de los triples es 55,5 así existe al menos una triple tales que la suma es por lo menos 56.