Grupos de la homología de una Pokeball

Question

He tratado de descubrir la singular homología de grupos de un simple, pero me he encontrado con algunas dificultades y quiero saber si alguien sabe lo que tengo mal. El simplex es la siguiente (0-células están en azul, 1-las células en rojo y 2-celdas en amarillo):

Como se ve como una Pokeball, he llamado a este espacio de $PB$. En primer lugar, me llamó la siguiente cadena de complejos:

$0\overset{\partial_3}{\rightarrow}\mathbb{Z}\overset{\partial_2}{\rightarrow}\mathbb{Z}^7\overset{\partial_1}{\rightarrow}\mathbb{Z}^4\overset{\partial_0}{\rightarrow}0$

como hay una 2-celda, siete 1-las células y los cuatro 0-células. Después de esto, llegué a la conclusión de lo siguiente acerca de los límites del operador $\partial_1$:

$\partial_1 (a)=x-v=\partial^{-1}_1(b)$

$\partial_1(d)=w-z=\partial^{-1}_1(c)=\partial^{-1}_1(g)$

$\partial_1(e)=w-v$

$\partial_1(f)=x-z$

Como una consecuencia clara, $H_0(PB)=\frac{ker\partial_0}{im\partial_1}=\frac{\mathbb{Z}^4}{\mathbb{Z}^4}=0$. Así, tenemos

$\partial_1(ab)=0$

$\partial_1(cd)=0$

$\partial_1(dg)=0$

$\partial_1(cg^{-1})=0$

Después de esto, he intentado analizar el límite operador $\partial_2$. Aquí, sin embargo, he encontrado algunas dificultades. En primer lugar, cómo definir $U$? Sería igual a $[vwzx]$? Traté de calcular como si $U=[vwzxv]$, lo que me dio:

$\partial_2(U)=\partial_2([vwzxv])=-d+a+f+e=e-d+f+a$

que sonaba de alguna manera correcta para mí. Sin embargo, después de él, ¿cómo podía siquiera calcular el núcleo de $\partial_2$? Tal vez me equivoque en alguna definición o estoy utilizando inadecuado de conceptos. Límite de los operadores de las 2-las células se convirtió en un gran problema en muchos de mis cálculos. Gracias por todas tus respuestas.

Answer 1

Primero de todo, tienes un error en el cálculo de $H_0$: La imagen de $\partial_1$ no todos los de $\mathbb Z^4$; sólo los elementos en los que la suma de los coeficientes es cero. Tenga en cuenta que este es el caso de la imagen de cada uno-simplex, por lo tanto de toda la imagen. En general, $H_0$ contiene una copia de $\mathbb Z$ por cada ruta de acceso conectados a la componente del espacio. Aquí, lo $H_0(PB)\cong \mathbb Z$

Para averiguar el límite de una $2$-cell, que acaba de atravesar el límite de las agujas del reloj*, y contar cuántas veces usted cruz de cada borde, además de uno si el borde está orientado hacia la derecha y negativo si está orientado a las otras formas. Así, en este caso, usted consigue $f-a+e-d$. (Creo que puede ser confundido en las definiciones aquí - parece que tal vez usted está tratando de tratar PB como si se tratara de un complejo simplicial - que no es menos que subdividir el cuadrado de $U$ en dos triángulos. Es necesario tratarla como un CW-complejo si se incluyen una plaza)

(*Realmente no importa donde vayas, si no hay $3$-de las células; si hay células de mayor dimensión, sólo tienes que ser coherente acerca de cómo cada célula está orientado a)

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Para calcular los $H_1$, se nota que la imagen de $\partial_2$ es sólo múltiplos de $f-a+e-d$. El núcleo de $\partial_1$ es un poco más complicado de tratar, pero tenga en cuenta que esto es sólo sumas que tienen el mismo número de entrantes y salientes de los bordes para cada vértice; es decir, nosotros tenemos cuatro ecuaciones: $$b-e-a=0$$ $$e+d-g-c=0$$ $$c+g-d-f=0$$ $$f+a-b=0$$ Se puede comprobar que, para cualquier elección de $(a,b,c,d)\in\mathbb Z^4$, no es exactamente un elemento de $(a,b,c,d,e,f,g)\in \mathbb Z^7$ que satisface todas estas ecuaciones. Además, uno puede encontrar que hay en realidad es una base para $\ker \partial_1$ contiene $f-a+e-d$ (dado que este elemento es "primitivo", es decir, no es un no-triviales múltiples de cualquier otro elemento de $\mathbb Z^7$ - o, equivalentemente, que el MCD de los coeficientes es $1$), se puede ver que $H_1(PB)\cong \mathbb Z^3$, ya que el es $\mathbb Z^4$ mod uno la copia de $\mathbb Z$ generado por uno de sus base de los elementos.

A continuación, tenga en cuenta que $H_2$ es trivial, ya que $\partial_2$ ha trivial kernel.

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Quizás también tenga en cuenta que su espacio es homotopy equivalente a una cuña de los tres círculos, ya que puede contraer la región de $U$ sobre los bordes $e$ $d$ $f$ por una deformación retractarse. Esta geométrico razonamiento que hace el cómputo de la homología de grupos de manera más fácil.

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En general, la forma de calcular el límite de una $n$-cell $A$ en un CW-complejo de $X$ es de considerar que el límite se identifica con $S^{n-1}$. Para cualquier $(n-1)$-cell $B$, se puede considerar un coeficiente de mapa de $q:X\rightarrow X/(X\setminus \operatorname{int}(B))$ - es decir, el mapa colapsando todo fuera de $Y$ a un punto que también es identificado con $S^{n-1}$. A continuación, obtener un mapa de $S^{n-1}\rightarrow S^{n-1}$ mediante la composición de la inclusión de los límites de la $A$ a $X$ con el cociente $q$. El grado de este mapa indica el coeficiente de $B$$\partial_n(A)$. En dos dimensiones, esto es, básicamente, la definición que me dio antes, pero en dimensiones superiores, se aclara lo que se entiende por "orientación".