Usando el inverso de la izquierda para «Resolver» un sistema imposible de ecuaciones

Question

Yo estaba trabajando con el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{split} \begin{bmatrix} 4 & 0\\ 0 & 5\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix} \end{split} $$

Claramente, esto no tiene solución en la cuenta de que las últimas filas en el coeficiente y la solución de matrices.

Sin embargo, multiplicando por la izquierda por la inversa de la matriz de coeficientes parece implicar una solución:

$$\begin{split} \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0 & b_{13}\\ 0 & \frac{1}{5} & b_{23}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 0\\ 0 & 5\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0 & b_{13}\\ 0 & \frac{1}{5} & b_{23}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} + b_{13}\\ \frac{1}{5} + b_{23}\\ \end{bmatrix} \end{split} $$

Donde $b_{13}$ $b_{23}$ puede ser cualquier número. Como se indicó anteriormente, no hay ninguna solución para este sistema, por lo que cualquier solución obtenida por el método anterior es incorrecto.

Lo que yo no soy entender es por qué, después de aplicar las reglas de la multiplicación de la matriz, ¿no le parece posible que haya una solución? Hice un error en alguna parte en el proceso, y/o hay algún matiz fundamental de álgebra lineal de que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Si $Av=b$, entonces el $TAv=Tb$. Lo contrario es en general no es cierto, como han notado. De hecho, $Av=b\iff Av-b=0$, pero

$$TAv=Tb\iff T(Av-b)=0\iff Av-b\in \ker T$$

Por lo tanto, no si $\ker T \neq \{0\}$, que es lo contrario, si el $T$ no es inyectiva.

Answer 2

Multiplicando ambos lados por a no es invertible la matriz puede cambiar el conjunto solución. Por ejemplo, se obtiene una infinidad de soluciones al multiplicar ambos lados de cualquier sistema lineal por el cero de la matriz.

Un caso diferente, pero similar en varios aspectos, es cuando ha $x^2=-1$; si se multiplican ambos lados por $x$, se obtiene la ecuación de $x^3=-x$, lo que ha $0$ como una solución. O, si usted cuadrado ambos lados, se obtiene $x^4=1$, lo que ha $1$ $-1$ tiene raíces. Por otro lado, el original de la ecuación no tiene solución en los números reales). El punto principal es que si reversible transformaciones de su ecuación, se garantiza que el conjunto de soluciones no cambia; con transformaciones irreversibles, no se pierde soluciones, pero puede añadir algunos.

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Sin embargo, hay una aplicación en el mundo real de este "mal" método. Si usted elige adecuadamente la izquierda inversa, es decir, el uso de Moore-Penrose pseudoinverse, que en este caso es $$ A^+=(A^TA)^{-1}A^T $$ donde $A$ es la matriz de coeficientes del sistema dado, produce un sistema en el cual las características de los "mínimos cuadrados de la solución".

Desde $$ \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 25 \end{bmatrix} $$ tenemos $$ A^+=\begin{bmatrix} 1/16 & 0 \\ 0 & 1/25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1/5 & 0 \end{bmatrix} $$ y $$ A^+\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1/4 \\ 1/5 \end{bmatrix} $$

Mientras el sistema no tiene solución, hay razones por las $x_1=1/4$ $x_2=1/5$ puede ser considerado como "casi una solución".

Answer 3

Todos han demostrado es que si $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ es una solución $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ tiene la forma dada. Esto no significa que realmente hay una solución.

Answer 4

Examinar lo que has hecho en el sistema de ecuaciones lineales que representa la ecuación de la matriz: $$\begin{align}4x_1&=1\\5x_2&=1\\0&=1.\end{align}$$ This system is obviously inconsistent because of the last equation. Multiplying by the matrix in your question amounts to replacing the first equation with $\frac14$ times the first one plus $b_1$ times the second, and similarly replacing the second equation by a linear combination of it and the third equation, producing $$\begin{align} x_1&=b_1+\frac14 \\ x_2&=b_2+\frac15.\end{align}$$ Note, however, that in the process you've also discarded the third equation, which was the one causing the inconsistency. This new system does indeed have a solution, but it's not equivalent to the original system. Effectively, you've back-substituted $1$ for $0$ en las dos primeras ecuaciones.

Answer 5

Aquí es un simple ejemplo de lo que está haciendo. Considerar el argumento

\begin{align} 2 \times 3 &= 8 \\ \frac 12 \times 2 \times 3 &= \frac 12 \times 8 \\ 3 &= 4 \end{align}

Si pones $``="$ entre dos cantidades no son iguales, entonces usted no puede creer en ninguna de las conclusiones que se pueden seguir.

\begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix} 4 & 0\\ 0 & 5\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix} \end{split} \end{equation}

Es equivalente a

\begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix} 4x_1\\ 5x_2\\ 0\\ \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{bmatrix} \end{split} \end{equation}

Que claramente no tiene solución.

Geométricamente, el punto de $(1,1,1)$ no está en el plano generado por los vectores $(4,0,0)$$(0,5,0)$.

Ecuaciones como este ocurren todo el tiempo en las estadísticas. Su, $``$solución de$"$ sería añadir un término de error en el extremo derecho

$$\left[ \begin{array}{c} 4 & 0\\ 0 & 5\\ 0 & 0\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \epsilon_1\\ \epsilon_2\\ \epsilon_3\\ \end{array} \right]$$

y, a continuación, encontrar los valores de $x_1$ $x_2$ que se minimice la suma de los cuadrados del error: $\epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2$

Geométricamente, que sería la proyección perpendicular del punto $(1,1,1)$ sobre el plano generado por los vectores $(4,0,0)$$(0,5,0)$.

Resulta que, incluso si $Ax = b$ no tiene solución, $A^TAx = A^Tb$ tiene una solución, a saber,$\hat x = \left(A^TA \right)^{-1}A^Tb$, e $\hat x$ minimiza la suma de los cuadrados de los errores, $\|b- A\hat x \|^2$