Demostrar que es un único $y:[0,1] \to \mathbb{R}$ $y(x) = e^x + \frac{y(x^2)}{2}$ $x \in [0,1].$ de problemas

Question

El título es el enunciado del problema, pero, reiteramos,

Probar que existe un único $y:[0,1] \to \mathbb{R}$ problemas $y(x) = e^x + \frac{y(x^2)}{2}$ $x \in [0,1].$

Buscando sugerencias y soluciones, gracias de antemano.

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Editar 6/10/16: ¿Progreso? Si definimos el operador $Ty(x) = e^x + \frac{y(x^2)}{2},$$|Ty(x) - Tz(x)| = 1/2|y(x^2) - z(x^2)|,$, lo que podría ser una contracción (el mapa no es exactamente seguro de cómo)... entonces podríamos usar un teorema de punto fijo a la conclusión de que para algunos adivinar $y_0,$ la serie $T^N y_0(x) = \frac{y_0(x^{2^N})}{2} + \sum_{n=0}^N \frac{\exp(x^{2^n})}{2^n}$ converge a $y(x)$?

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Podría alguien confirmar si a uno se le permite reclamar este $$ |Ty(x) - Z(x)| = 1/2|y(x^2) - z(x^2)| $$ es una contracción mapa? Por un lado, la apariencia de $$ |Ty - Tz| = 1/2|y - z|, $$ pero por el otro, los argumentos no son los mismos para $y, z$ a ambos lados de la ecuación.

Answer 1

Como se sospecha, la herramienta que desea utilizar aquí es el punto fijo de Banach teorema. Considerar el espacio $C[0, 1]$ de los verdaderos valores de funciones continuas en $[0, 1]$ con el sup norma, lo que hace que $C[0, 1]$ a un espacio métrico con la métrica $d$. Definir $$f\colon C[0, 1] \to C[0, 1] \text{ by } f(y(x)) = e^{x} + \frac{y(x^{2})}{2}$$ Entonces para cualquier $y_{1}, y_{2} \in C[0, 1]$, \begin{align*} d(f(y_{1}), f(y_{2})) = & \bigg\lvert\bigg\lvert \left(e^{x} + \frac{y_{1}(x^{2})}{2}\right) - \left(e^{x} + \frac{y_{2}(x^{2})}{2}\right) \bigg\rvert\bigg\rvert \\ = & \bigg\lvert\bigg\lvert \frac{y_{1}(x^{2})}{2} - \frac{y_{2}(x^{2})}{2} \bigg\rvert\bigg\rvert \\ = & \frac{1}{2} \sup_{x\in [0, 1]} |y_{1}(x^{2}) - y_{2}(x^{2})| \text{; since } x\mapsto x^{2} \text{ is a bijection on } [0, 1], \\ = & \frac{1}{2} \sup_{x\in [0, 1]} |y_{1}(x) - y_{2}(x)| \\ = & \frac{1}{2} d(y_{1}(x), y_{2}(x)) \end{align*} Por lo tanto, $f$ es una contracción constante (digamos) $L = 2/3 < 1$. Así, desde la $C[0, 1]$ es completa, por el punto fijo de Banach teorema, $f$ tiene un único punto fijo, es decir no existe únicas $y \in C[0, 1]$ tal que $y(x) = f(y(x)) = e^{x} + y(x^{2})/2$ todos los $x \in [0, 1]$.